逆関数の置換積分の原理をもう少し深く理解したいです

質問

逆関数の置換積分が根本的に分からないのです。（置換積分の考え方についての質問です。）
「πx^2sin(πx^2)の1≦x≦0までの区間とx軸に囲まれた平面をy軸周りに回転させて出来る立体の体積を求めよ」という問題でそれに気づかされました。
有名問題そうなのでグラフの様子や答え自体は周知という前提で話を進めます。
この問題のある解き方ではまず0≦x≦1なる極点のx座標をα(y座標をy1)とします。
そしてαを境目として、問題の関数を２つの逆関数x=g1(y)(0≦x≦α)、x=g2(y)(α≦x≦1)で表現すると、その回転体の体積は∫[0,y1]π(g2(y))^2dy-∫[0,y1]π(g1(y))^2dyとなり
この式についてy=f(x)とおくと∫[1,α]πx^2f'(x)dx-∫[0,α]πx^2f'(x)dxとなるということだったと思います。あとはごちゃごちゃ計算すれば値πが求まるわけです。
y=f(x)と置いた後の積分の式はdyの部分がf'(x)dxになっていて、これは置換積分の公式y=f(x)dx⇔y=f(g(t))dx/dt*dtについて、tをyと見て適用した結果が素直に反映されているように見えます。
疑問なのはg1,2(x)^2がx^2になっているところで、なんでこうなるのかちゃんとは理解できていないようなのです。
x=g(y)のような式をy=f(x)でおくのだからx=g(f(x))ということになるでしょう。これは公式のf(g(t))に対応すると思います。公式のこの部分は、tで置換積分すると決めたらf(x)の変数xが全てtで表されるようにしろという意味で私は理解しています。
たとえばx(x-2)^3のような式を積分するならt=x-2と置くでしょうが、そのとき式中の(x-2)は宣言した通り一文字のtで置き換えるだけですしt=x-2はxについて解けますからそれを代入することによって式はtだけの式で表されるということになります。
ですがこれと違って、y=f(x)でおくという場合代入という考え方で式の同値変形ができるわけではありませんよね。公式を適用する中でg(f(x))=xというのはどうやって導出するものなのかが分からないのです。
考えてみたら、逆関数として表現したものを逆関数で置きなおすのだからx=g(y)という等式で結ばれたxでそれは表現されるというのは「なんとなく」そんな気がしますし、これに限っては「逆関数の逆関数はx」と暗記することで済むと思います。
しかし数学なのだから考え方が正しければ途中過程によらず正しい答えにたどり着くという前提のもとで、置換積分の際の置き方というのは自由なはずですから、たとえばy=f(x)ではなくy=2f(x)として置換積分したらどういう流れで元の結果に行き着くだろうと考えたのですが、全くわからなくなりました。
y=2f(x)ですからdy=2'f(x)dxなのは当然でしょう。するとg(2f(x))は2'f(x)dyの２が打ち消されるような式でなければならないわけです。置き換える前の式は∫[0,y1]π(g2(y))^2dyのように式が二乗されていますから求める式はg(2f(x))はx/√(2)ということになる、のでしょうか？いよいよ分からなくなるわけです。x/√2という式でたとえ合っていたとしても、また別の、答えがあらかじめわかっておらず、こうしたつじつま合わせが使えない別の問題は解くことができないのです。
長くなりましたが、なぜ最初の問題について積分の中身をg(y)^2がx^2となるのか、y=2f(x)のように置いた場合にも応用が利くような考え方でご解説いただきたいと思います。よろしくお願いします。

回答No.9

f272 · ベストアンサー

FとGが逆関数の関係にあるのならy=F(x)からx=G(y)が導けます。これが逆関数の定義です。
x=f^-1((1/2)y)を忘れたとしても
y=2f(x)
g(y)は2f(x)の逆関数
の２つの事実から
x=g(y)
となるのです。定義に文句を言っても仕方がありません。

お礼

なんとくなく分かりました。もう一回頭を整理して質問するかもしれません。ありがとうございました。

回答No.8

f272

y=2*f(x)としたときg(y)はf(x)の逆関数だからx=g(1/2y)
というのは誤りです。y=2*f(x)としたときにはf(x)=(1/2)πx^2sin(πx^2)ですが，g(y)はあくまで元のπx^2sin(πx^2)の逆関数です。つまりg(y)は2f(x)の逆関数です。したがって
すなわち∫[0,y1]π(g2(y))^2dy-∫[0,y1]π(g1(y))^2dyという式についてy=2f(x)と置いたとすると(1/2)y=f(x)であるからx=f^-1((1/2)y)、g(y)は2f(x)の逆関数だからx=g(y)。

お礼

ありがとうございます。最後の「x=f^-1((1/2)y)、g(y)は2f(x)の逆関数だからx=g(y)。 」と部分がどうしても理解できません。もう少し詳しく書いて下さると助かります。g(y)は2f(x)の逆関数なのは分かります。それだからx=g(y)であるということについてもう少しきっちり論証していただけるとありがたいです。

回答No.7

noname#242965

問題自体はバウムクーヘンを求める有名な問題？
そうですか。
積分できない非積文関数ってあったような気がするが。
Diracは自分で勝手にδ（ｘ）を作ってしまった。

お礼

非積分関数ですか。初耳なので調べてみます。勉強になりました。

回答No.6

noname#242965

置換積分が良くわからないので、回答しようがありませんが。
しかし、貴方のこの長い文章を読んだとき、これは、何とか
解決できたらよいが」と思います。
置換積分ですが、どうも単純な置換積分ではなく、
一ひねりある置換積分のようです。

出題者はそこを狙ったのかもしれません。

ところで、
「πx^2sin(πx^2)の1≦x≦0までの区間とx軸に囲まれた平面をy軸周」
のグラフ、図形を描くことを薦めます。それを眺めていると
自然と答えがわかってくると思います。キット。

お礼

ありがとうございます。「グラフを眺める」は参考になります。

回答No.5

f272

∫[0,y1]π(g2(y))^2dy-∫[0,y1]π(g1(y))^2dyでy=f(x)としたときはf(x)=πx^2sin(πx^2)と思っているのですよね。しかしy=2*f(x)としたときはf(x)=(1/2)πx^2sin(πx^2)と思っているはずです。
言い換えるとy=f(x)としたときのdy=f'(x)dxと，y=2*f(x)としたときのdy=2*f'(x)dxとは同じものです。
つまりy=2f(x)からdy=2*f'(x)dxが導かれますが，g(2f(x))は2f’(x)dyの２が打ち消されるような式でなければならないわけではありません。いつでもg(2f(x))=xです。

お礼

回答ありがとうございます。
>y=2*f(x)としたときはf(x)=(1/2)πx^2sin(πx^2)と思っているはずです。
なので(1/2)πx^2sin(πx^2)そのものかそれと同値な「かたまり」を作ってやれば置換ができるというのが私の考えです。
たとえば∫(sinx)^2*cosxdxを解くときt=sinxと置くのが定石であるところをt=2sinxと置いたとしてもsinx=1/2*2sinxという「t=2sinxの右辺の2sinxというかたまりを含む式」に変形できることを考慮すれば∫(sinx)^2*cosxdx=∫(1/2*2sinx)^2*cosxdx=∫1/4t^2cosxdx、ここで
t=2sinxよりdt=2cosxdxすなわち1/2dt=cosxdxであるから∫1/8t^2というtのみの変数で表現できます。同じ考え方が質問の式について言えるのではというのが私の考えです。
すなわち∫[0,y1]π(g2(y))^2dy-∫[0,y1]π(g1(y))^2dyという式についてy=2f(x)と置いたとすると1/2y=f(x)であるからx=f^-1(1/2y)、g(y)はf(x)の逆関数だからx=g(1/2y)。
つまりg1(y)やg2(y)に関してg(1/2y)というかたまりを含むような式との関係式が求められればxへの置換が可能ということになります。たとえば1/2g(y)=g(1/2)のようなものです。しかしこのような置換に便な式を利用するにはまずそれを仮定し証明しなければならないでしょうが、g(y)についてどんな関係式が成り立っているのかを予想したり証明するための考え方が分かりません。
またそもそも、特定のf(x)=πx^2sin(πx^2)の逆関数g(y)でなく一般に1/2g(y)=g(1/2y)が成り立つことが前提とされた抽象的な関数について∫g(y)^2dyを解くとして、仮にy=2f(x)と置くとx=g(1/2x)であるから∫g(y)^2dy=∫(2*1/2*g(y))^2dy=∫4g(1/2y)^2dy、置換積分の公式から∫4*(x^2)*2f'(x)dxとなるという議論を正しいと考える認識が質問には内包されているかと思いますが、この考え方自体に不安があります。私はどこから間違っているのでしょうか？そしてどう考えるのが正しい筋道なのでしょうか？

回答No.4

noname#242965

置換積分の原理を深く理解したい」デスネ。
置換積分を何故やるかと言えば、計算が簡単になるからです。
ですから、そこのところをよく理解しておくことは、重要です。
置換積分をよく理解していない自分が恥ずかしいです。

お礼

回答ありがとうございます。

回答No.3

gamma1854

長文をよく読んでいませんが、
0≦x≦α、α≦x≦1 で関数が違うと考えるとよいと思いますが。
V=∫[0~y(α)] pi*x^2dy - ∫[0~y(α)] pi*x^2dy
=∫[1~α] pi*x^2(dy/dx)dx - ∫[0~α] pi*x^2(dy/dx)dx
=-∫[0~1] pi*x^2*(dy/dx)dx
=-2pi^2*∫[0~1] f(x)dx.
ただし、f(x)=x^3*{sin(pi*x^2)+pi*x^2*cos(pi*x^2).
となります。

お礼

回答ありがとうございます。

回答No.2

noname#242965

私はレベルが低くて、どうでもよいことしか指摘はできないが、
しかし、何とか本丸に攻め込みたいのですが。

うーむ、難しいな。y軸の周りに回転させてできる体積を求める。
花瓶の底みたいな立体ですね。

お礼

ありがとうございます。問題自体はバアムクーヘンの公式を求めさせる有名なものです。

回答No.1

noname#242965

３行目あたりに
1≦x≦0ってありますが
　　　↓
０≦x≦１ですよね？

お礼

ご指摘ありがとうございます。失礼しました。

補足

引き続き解説待ってます。