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三角関数の逆関数微分および置換積分の際の絶対値について

  • 質問No.5076370
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お礼率 34% (8/23)

こんにちは。

とある問題集の、
∫{1 / ( (1-x^2) * (x^2+1)^(1/2) )}dx を計算せよ、という問題についていです。
解答を見たところ、x=tanθと置くそうなのですが、その計算において
(x^2+1)^(1/2) = ((tanθ)^2+1)^(1/2) = 1/cosθ としているところに
疑問を持ちました。
思うに、-π/2<θ<π/2 などの条件があるなら格別、そうでなければ
(x^2+1)^(1/2) = 1/|cosθ| と絶対値を付けるべきではないですか?

この問題集では、たとえば y = arcsin x でのdy/dx を求める際も、
siny = x ⇔ dy/dx * (cosy) = 1
⇔ dy/dx = 1/cosy = 1/(1-(siny)^2)^(1/2) = 1/(1-x^2)^(1/2)
などと絶対値を考慮せず計算している場合があります。

(おそらく、前者の積分問題に関しては)絶対値で場合分けしても、
答えは同じになると思うので、まあ省略したと納得できなくもないですが、
後者の場合だと絶対値で場合分けすると答えが変わってくるので
問題になります(そもそもyがxの関数でないことが問題なのでしょう)。

このように、三角関数の逆関数微分、および置換積分の場合は、絶対値
符号は何も言及せずに外してもいいのでしょうか?
大学院受験での解答を前提として教えていただきたいです。

質問者が選んだベストアンサー

  • 回答No.1
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ベストアンサー率 59% (761/1282)

x=tanθと置くとき、xの定義域が(-∞,∞)とすると、θの値域を通常は(-π/2,π/2)ととります。
もちろん、(π/2,3π/2)にすることは出来ますが、(0,π)と取ることは出来ません。(この場合、x=0でθが連続でないために問題がある)

この解説を書いた人は暗に(-π/2,π/2)と置いてしまったのでしょう。
理解はできるのですがさすがに不親切です。
お礼コメント
youyouiti

お礼率 34% (8/23)

理解できました!
ありがとうございます。

y=arcsinx の方はxの定義域では説明できなさそうですが、こちらはいかがでしょうか?
投稿日時:2009/06/27 01:35

その他の回答 (全1件)

  • 回答No.2

ベストアンサー率 59% (761/1282)

逆正弦関数y=arcsin(x)の値域は[-π/2,π/2]です。
この範囲ではcos(y)≧0となります。
お礼コメント
youyouiti

お礼率 34% (8/23)

なるほど、関数にするために[-π/2,π/2]の定義域を取るのですね!
どの問題も定義域が定められていなかったので、「関数ではないのでは?」
と疑問を持ってしまっていました。
ありがとうございます!
投稿日時:2009/06/27 14:08
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