三角関数の逆関数微分および置換積分の際の絶対値について

質問

こんにちは。

とある問題集の、
∫{1 / ( (1-x^2) * (x^2+1)^(1/2) )}dx　を計算せよ、という問題についていです。
解答を見たところ、x=tanθと置くそうなのですが、その計算において
(x^2+1)^(1/2) = ((tanθ)^2+1)^(1/2) = 1/cosθ としているところに
疑問を持ちました。
思うに、-π/2<θ<π/2　などの条件があるなら格別、そうでなければ
(x^2+1)^(1/2) = 1/|cosθ|　と絶対値を付けるべきではないですか？

この問題集では、たとえば y = arcsin x　でのdy/dx を求める際も、
siny = x ⇔ dy/dx * (cosy) = 1
⇔ dy/dx = 1/cosy = 1/(1-(siny)^2)^(1/2) = 1/(1-x^2)^(1/2)
などと絶対値を考慮せず計算している場合があります。

（おそらく、前者の積分問題に関しては）絶対値で場合分けしても、
答えは同じになると思うので、まあ省略したと納得できなくもないですが、
後者の場合だと絶対値で場合分けすると答えが変わってくるので
問題になります（そもそもyがxの関数でないことが問題なのでしょう）。

このように、三角関数の逆関数微分、および置換積分の場合は、絶対値
符号は何も言及せずに外してもいいのでしょうか？
大学院受験での解答を前提として教えていただきたいです。

回答No.1

rnakamra · ベストアンサー

x=tanθと置くとき、xの定義域が(-∞,∞)とすると、θの値域を通常は(-π/2,π/2)ととります。
もちろん、(π/2,3π/2)にすることは出来ますが、(0,π)と取ることは出来ません。(この場合、x=0でθが連続でないために問題がある)

この解説を書いた人は暗に(-π/2,π/2)と置いてしまったのでしょう。
理解はできるのですがさすがに不親切です。

お礼

理解できました！
ありがとうございます。

y=arcsinx の方はxの定義域では説明できなさそうですが、こちらはいかがでしょうか？

回答No.2

rnakamra

逆正弦関数y=arcsin(x)の値域は[-π/2,π/2]です。
この範囲ではcos(y)≧0となります。

お礼

なるほど、関数にするために[-π/2,π/2]の定義域を取るのですね！
どの問題も定義域が定められていなかったので、「関数ではないのでは？」
と疑問を持ってしまっていました。
ありがとうございます！