陰関数そのものを使った積分の計算法

質問

いろいろな曲線の表示において、微分や積分の計算法を整理してみました。

x^2+y^2=4上の点(x,y)=(1,√3)でのdy/dxの値の求め方。

陽関数。y=√(4-x^2)よりdy/dx=-x/√(4-x^2)。x=1のとき、dy/dx=-1/√3。

媒介変数。x=2cos(θ),y=2sin(θ)とすると、dy/dx=dy/dθ÷dx/dθ=-cos(θ)/sin(θ)。
θ=π/3のとき、dy/dx=-1/√3。

逆関数。x=√(4-y^2)よりdy/dx=1÷dx/dy=-√(4-y^2)/y。y=√3のとき、dy/dx=-1/√3。

極座標に変数変換。(x,y)→(r,θ)　(ただし、x=rcos(θ),y=rsin(θ))とすると、(1,√3)→(2,π/3)。
x^2+y^2=4→r=2。dx=cos(θ)dr-rsin(θ)dθ、dy=sin(θ)dr+rcos(θ)dθ。dr/dθ=0。
よって、dy/dx=-cos(θ)/sin(θ)。θ=π/3のとき、dy/dx=-1/√3。

陰関数。2x+2y(dy/dx)=0より、dy/dx=-x/y=1/√3。

y≧0,x^2+y^2≦4の面積の求め方。

陽関数。境界はy=√(4-x^2)より∫[-2,2]ydx=∫[-2,2]√(4-x^2)dx=[(1/2)√(4-x^2)+2arcsin(x/2)] [-2,2] = 2π

媒介変数。境界をx=2cos(θ),y=2sin(θ)とすると、∫[-2,2]ydx=∫[π,0]2sin(θ){-2sin(θ)}dθ = 2π

逆関数。境界はx=√(4-y^2)より∫[-2,2]ydx=2∫[0,1]y(dx/dy)dy=2∫[2,0]y(-y/√(4-y^2))dy=2π

極座標に変数変換。(x,y)→(r,θ)(ただし、x=rcos(θ),y=rsin(θ))とすると、
[y≧0,x^2+y^2≦4]→[0≦r≦1,0≦θ≦π]、ヤコビアンはr。よって、
∫[y≧0,x^2+y^2≦4]dxdy=∫[0≦r≦2,0≦θ≦π]rdrdθ=2π

以上のように計算法を比べてみると、陰関数そのものを使った積分の計算法を僕は知りません。
数学の理論はボタンをかけるように、パラレルな理論があると信じているのですが、
一方を知らないので気になります。

陰関数そのものを使った積分の計算法があれば教えていただけますようお願いいたします。

回答No.2

stomachman · ベストアンサー

あ、質問者はにゃんこ先生ではないか。いつもの前振りがないから気がつかなかった。

　http://okwave.jp/qa/q7401055.html から続けて読むと、陰関数の微分の話が出てきた辺りでなんかちょっと分かってきた気がしますぞ。

　多分、「積分は面積だ」ってんで面積と仰ってる。しかし質問の本質は「陰関数の微分を計算するのと同じように積分を計算したい」、つまり、
　f(x,y)=0
のとき不定積分
　∫ydx
の答をなんか機械的な記号操作で出せないか、という話じゃなかろうか。（面積は領域の話だが、これなら領域は出てこない。）だから純粋な理論の話をしているようで実は「役に立つ計算の技法」の話、だけど答が欲しい訳じゃない、というスタンスになる。

　違いますかね。

　だとすれば、しかし「そうは問屋が卸さない」が答かな。それですいすい出来たら積分で苦労しないだろうし。
　でも、陰関数と言わずに、たとえば演算子法あたりを調べてみれば、対称性もそれなりに復活して見えると思うんですが。

お礼

いつもお世話になります。

「にゃんこ先生といいます」というあいさつは、ネットでの自分のキャラ作りのひとつだったのですが、最近は余計なことは面倒になってきて、省略しました。

陰関数。F(x,y)=0のとき、
dy/dx = -Fx/Fy (ただし、Fx:=∂F(x,y)/∂xなどとする)なので、
∫ydx = ∫y(-Fy/Fx)dy

これが僕が期待していた答えかもしれません。たとえば、F(x,y)=x^2+y^2-4とすると、
∫ydx = ∫y(-Fy/Fx)dy
=∫y(-2y/2x)dy
=∫(-y^2/x)dy
=∫-y^2/√(4-y^2) dy

上では最後の行で、陰関数から陽関数に直す操作をしました。
陰関数のなかで、陽関数でも媒介変数でも逆関数でも変数変換でも簡単にすることができず、
∫ydx = ∫y(-Fy/Fx)dy
を使ったほうがいいものは、と考えたら、それはなさそうな気もします。

陰関数の微分、dy/dx = -Fx/Fy の右辺はxとyが混ざったままでも役立ちますが、
陰関数の積分∫ydx = ∫y(-Fy/Fx)dy の右辺は、xとyが混ざったままでは役立たない。
もとの関係式F(x,y)=0とあわせて、yだけの式にしないといけない。

これは、陰関数F(x,y)=0のグラフを手書きしたいときに、
F(x,y)=0とdy/dx=-Fx/Fy=0 を連立して、極点を求めるときと同じような問題で、一般には難しいというのが答えかもしれません。

前回の質問「x^5-x-(y^5-y)=0」のグラフの閉領域の面積を手で求めるには、
まずはグラフを手書きする必要がありますが、そのグラフの自己交差点や極点は連立方程式の解を数値計算で求めて、
面積も領域を細かく分割して求めるという原始的な数値計算しかないかもしれませんね。

回答No.4

alice_44

ああ、そういう話か。
それって、Y=∫ydx と書くことにすると、
微分方程式 f(x,dY/dx)=0 の解析解が得たい
って話ですよね。
一般の f に対してそんな公式はありようもない
ことは、既に御存知ではないかと思います。

回答No.3

stomachman

ANo.2のコメントについて。
　陰関数は、関数方程式の一種と捉えることができます。微分方程式も関数方程式の一種ですし、たとえば加法定理　f(x+y)=f(x)f(y) も関数方程式と見ることができる。いずれも関係式だけが与えられて「まだ解けていない」状態にあります。
　さて、微分や積分を、それ自身を目的と見るのではなく、ただ可能な操作のひとつだと見たらどうでしょう。陰関数を微分して得られるのは微分方程式であり、積分して得られるのは積分方程式。どっちも、関数方程式から関数方程式への変換をやっているわけです。だから、その変換によって簡単に解ける形になるものもあるだろうし、逆に難しくなっちゃうものもあるだろう。中には、「解く」ということを全くやらずに済むぐらい自明になるものもあるかも知れない。そういう事情であろうかと思うんです。

回答No.1

alice_44

そもそも、面積を求めたい領域が
陰関数を使って f(x,y)≦0 と表示されていない。
log(y/2)・(xx+yy-4)≦0 とでもするのかな？
そこを解決すれば、∬[f(x,y)≦0] 1 dxdy と
書くことだけはできるが、計算には結びつかない。
上記の式を見れば、dy/dx を求める計算と
あまり対称的な話ではないことが
解るかと思うが…

お礼

ありがとうございます。
領域y≧0,x^2+y^2≦4が陰関数でないとのことですが、x^2+y^2-4≦0の面積を求めてもいいのですが、他の計算との都合により変えただけす。

さらに整理してみました。記号の細かい説明は省いて公式だけを。

曲線の表示
微分
2回微分
不定積分(質問では定積分を考えましたが今回は-1回微分とでもいうべき不定積分を考えました)

陽関数。y=f(x)
dy/dx = (d/dx)f(x)
(d/dx)^2 y = d^2y/dx^2
(d/dx)^(-1) y = d^(-1)ydx =∫ydx (ここの記号は類似のためにあえて使っただけで一般的ではない)

媒介変数。x=f(t),y=g(t)
dy/dx = (dy/dt)/(dx/dt) = (df(t)/dt)/(dg(t)/dt)
d^2y/dx^2 = d(dy/dx)/dt ・ dt/dx = {(d^2g(t)/dt^2)(df(t)/dt)-(dg(t)/dt)(d^2f(t)/dt^2)} / (df(t)/dt)^3
∫ydx = ∫y(dx/dt)dt = ∫g(t)(df(t)/dt)dt

逆関数。x=f^(-1)(y):=g(y)
dy/dx = 1/(dx/dy) = 1/(dg(y)/dy)
d^2y/dx^2 = d{1/(dx/dy)}/dy ÷ dx/dy = -d^2g(y)/dy^2 ÷ {dg(y)/dy}^3　
∫ydx = ∫y(dx/dy)dy = ∫y{dg(y)/dy}dy

極座標に変数変換。(x,y)→(r,θ)(ただし、x=rcos(θ),y=rsin(θ))でy=f(x)→r=g(θ)
dy/dx = {sin(θ)dr+rcos(θ)dθ}/{cos(θ)dr-rsin(θ)dθ} = {sin(θ)(dg(θ)/dθ)+rcos(θ)}/{cos(θ)(dg(θ)/dθ)-rsin(θ)}
2回微分は省略
∫ydx = ∫f(rcos(θ)) {cos(θ)dr-rsin(θ)dθ} = ∫f(g(θ)cos(θ)) {cos(θ)(dg(θ)/dθ)-g(θ)sin(θ)} dθ

陰関数。F(x,y)=0
dy/dx = -Fx/Fy (ただし、Fx:=∂F(x,y)/∂xなどとする)
d^2y/dx^2 = -{Fxx Fy^2 - 2Fxy Fx Fy + Fyy Fx^2}/Fy^3
？？？

上記の？？？部分にはいる、「陰関数の不定積分公式」はやはりないのでしょうか。