二つのΓ関数Γ(p)、Γ(q)の積について

質問

Γ(p)Γ(q)=4∫[0→∞]∫[0→∞]e^(-x^2-y^2)・x^(2p-1)y^(2q-1)dxdy　において、

x=rcosθ,　y=rsinθ と置いて直交座標(x,y)から極座標(r,θ)に移れば、

Γ(p)Γ(q)=4∫[0→∞]∫[0→Π/2]e^(-r^2)・r^(2p+2q-2)cos^(2p-1)θ・sin^(2q-1)θ・rdθdr　となるのですが、
rdθdrの導き方が分かりません。

dx=drcosθ-rsinθdθ,　dy=drsinθ+rcosθdθ　を用いてみるのですが上手く行きません。
rdθdrの導出方法を詳しく教えて頂けないでしょうか。

回答No.2

KENZOU · ベストアンサー

一般に多重積分の変数変換(x,y→r,θ)には次の公式があります。
∬f(x,y)dxdy=∬f(rcosθ，rsinθ)|J(r,θ)|rdrdθ
ここで|J(r,θ)|はヤコビアンといって面積素片の換算係数のようなもので，行列式です。具体的には，今の場合，x=rcosθ,　y=rsinθですから
J(r,θ)=
　｜∂x/∂r　∂x/∂θ｜
　｜∂y/∂r　∂y/∂θ｜
=r
なぜ公式のように書けるのかについては参考URLに詳しく書かれていますので参照してください。

参考URL：

http://next1.cc.it-hiroshima.ac.jp/MULTIMEDIA/calc/node56.html

お礼

今日は。ご回答有難うございます。
直角直線座標での２重積分を極座標での積分に置き換えた時、微小面積要素がどのように書き換えられるかと言う事をすっかり忘れていました。
ご紹介のHPでもっと勉強してみます。
またの質問の折も宜しくお願いします。
有難うございました。

回答No.3

siegmund

(A) 面積要素 dx dy は x 座標が x～x+dx，y 座標が y～y+dy の部分
(つまり長方形)の(微小)面積です．
したがって，座標系を(r,θ)にしたら，
r 座標が r～r+dr，θ 座標が θ～θ+dθの部分の面積を考えればよいことになります．
外側の円が半径 r+dr，内側の円が半径r，中心角が dθですから
(図を描いてみればわかります)
問題の面積は
(1)　　(dθ/2π) {π(r+dr)^2 - πr^2}
で，微小量の高次を無視すれば(積分には効かないから)
r dr dθになります．

(B) (A)で議論した部分を，幅 r dθ，高さ dr の近似的長方形と見なして
その面積が dr dθ．

(C) No.2 の KENZOU さんのやりかた．

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(A)が一番予備知識が要りませんが，
これは偶々円の面積を知っているからできることで，
いつでも使えるわけではありません．
また，本来，面積は積分で定義されるもの(微小面積を積分する)ですから，
うるさく言うと堂々巡りの話になってしまいます．

(B)は一般的に使えます．
近似的長方形のあたりがちょっとひっかかるかも知れません．

(C)は一番きちんとした議論ですが，
直交曲線座標の勉強をしないといけません．

お礼

今日は。ご回答有難うございます。
いつも詳細な解説を頂き恐縮しています。
座標変換の意味を学び直す良い機会となりました。
またの質問の折りも宜しくお願い致します。

回答No.1

endlessriver

rとθの積分を分離してr^2=xの変数変換をすればΓ(p+q)がでてきます。残りはベータ関数B(q,p)．

お礼

今日は。ご回答有難うございます。
質問した式で、ご指摘のようにrとθの積分に分けr^2=xの変数変換行えばΓ(p+q)が出てきてΒ関数(p,q)を導く事が出来る事は理解出来たのですが、rdθdrの導出の意味が分からず質問させて頂きました。
またの質問の折りも宜しくお願いします。
有難うございました。