極座標を用いた重積分

質問

極座標を用いて重積分をし、最終的に広義積分を求める問題なのですが、非常に煩雑でどうも手がつかないので、教えていただけると助かります。

∬[D]exp(-px^2-qy^2)dxdy (p,q>0) D={(x,y);x≧0, y≧0}

というものです。
x=rcosθ,y=rsinθ
と極座標表示をし、積分区間を
0≦r≦R, 0≦θ≦π/2
として積分をし、R→∞とすれば求まるのはわかるのですが、pやqがあるせいで、変数変換をしてもexpの中にθとrが混在しているので、どうやっていいのか途方に暮れています…。
よろしくお願いいたします。

回答No.3

zk43

あるいは、最初にxをx/√pに、yをy/√qに置き換えておいて、
その次に極座標に変換すればよいと思います。
結局、No1の方と同じことですが。

回答No.2

zk43

無理に極座標に変換しなくても、
exp(-px^2-qy^2)=exp(-px^2)exp(-qy^2)
とxだけ、yだけの関数の積に分解するので、
∫(0,∞)exp(-px^2)dxと∫(0,∞)exp(-qy^2)dy
をそれぞれ計算して、掛ければ良いと思います。
xをx/√pに置き換えればいわゆるガウス積分ですね。

回答No.1

noname#46750

x=(r/√p)cosθ、y=(r/√q)sinθ
としたら、pとqが消えます。