重積分の解き方を教えてください。

質問

重積分の解き方について教えてくだ さい。 ∫∫exp(-x^2-y^2)dxdyの積分の 解き方を教えてください。積分範囲の指定は特にないです。

回答No.4

中村 拓男（@tknakamuri） · ベストアンサー

>x=rcosθ,y=rsinθとしたとき、重積分∫∫exp(-x^2-y^2)dxdyを変数(r,θ)に
>関する重積分に書き直し、その値を求めよ。

これだけだと全然言葉が足りていないひどい問題だと思いますが、多分

1) 定積分を求めよ。
2) 積分範囲は x-y平面全体
3) ２次元極座標を利用して解け

3)を利用するには 2) でないとだめなので、無理やり汲み取れってことなのかな？？？

No.3 さんのご回答で問題ないと思います。

ちなみに、題意を不定積分ととると

{(1/2)√(π)erf(x)+C1}{(1/2)√(π)erf(y)+C2} (erf: ガウスの誤差関数, C1, c2: 積分定数)

erf(x) = (2/√(π))∫[0～x]exp(-t^2)dt

ですが、これだと極座標の使いどころがないし、積分を 特殊関数に置き換えただけで
特に意味はないですので、題意とは異なるでしょうね。

補足

回答ありがとうございます。
普通こういう極座標に関する問題は、積分範囲などのなんらかの情報が書かれていると思うのですがそれがないので、この問題の意図が分からず解けませんでした。院試なので、そんなただ普通に積分すればいいってものでもないとは思うのですが。
ちなみにこの問題は、青山学院の大学院の数学の試験問題です。もしよければご覧になってください。
http://www.gem.aoyama.ac.jp/exam/exam.html
pdfが置いてあります。2009年の問題の中にあります。

回答No.6

noname2727

No.5さんのおっしゃっている通りで
例えば
∫Rf（x）dxは∫[-∞～∞]f（x）dxの意味で不定積分とは異なります。
基本的な問題なので、解けるようにがんばってください。

補足

混乱させてしまいすいません。
今まで微分積分の専門書は2冊読んでいるのですが、そのような表記の仕方を見たことがなく、わかりませんでした。
恥ずかしいばかりです。
いろいろな書籍を読んで知識を深めて参りたいと思います。
みなさん回答ありがとうございました。

回答No.5

yyssaa

原文には積分範囲はR^2と明記されているのに、
何故「積分範囲の指定は特にない」などと混乱させるのか？
R^2を理解できないなら、そのことも含めて質問すべきだろう。
ここでは積分範囲を(x,y)∈R^2と考えるべきではないかな？

回答No.3

noname2727

x=rcosθ,y=rsinθとおく。
上式＝∬[0～2π、0～∞]exp(-r^2)rdrdθ
＝２π∫[0～∞]exp(-r^2)rdr
=２π[-1/2 exp(-r^2)][0～∞]
＝π
かな？

回答No.2

中村 拓男（@tknakamuri）

>x=cosθ,y=sinθとおいて解きなさいと書いてありました。

とすれば積分範囲を円周とする記述が別途あるはずです。

また積分範囲が 円周ならば 積分値は 0 なので変です。
明らかに問題の条件をごそっと見落としています。

補足

積分範囲は書いていないんですよね。
では、問題文を全文そのまま書きますね。

x=rcosθ,y=rsinθとしたとき、重積分∫∫exp(-x^2-y^2)dxdyを変数(r,θ)に関する重積分に書き直し、その値を求めよ。

これが問題文の全文になります。文章はこれだけです。ちなみにこれは院試の問題です。

回答No.1

Tacosan

不定積分しろってこと?

補足

すいません。問題文が抜けてました。
x=cosθ,y=sinθとおいて解きなさいと書いてありました。

積分範囲がなにも書いておらず、ただ解きなさいとしか書いていないので、おそらく不定積分だと思うのですが。