重積分の計算について

質問

以下の重積分の計算の仕方がさっぱりわからず難儀しております。
初心者につき、基本的なことが分かっていないのだと思いますが、
どのような順序で計算を行えばいいのか、考えたかと計算の流れを
教えていただけないでしょうか？

【問題】
次の重積分の計算をせよ。
∫∫A (x^2+2y) dxdy
但し、A=[0,1]×[0,2]である。
（Aは∫の右下につく小さいAです。）

【疑問点】
dxとdyでそれぞれ１かいづつ積分すればいいのでしょうか？
A=[0,1]×[0,2]の範囲の解釈ですが、
以下の範囲で積分をするというのであってるでしょうか？
x 0→0
y 1→2

アドバイスのほど、よろしくおねがいします。

回答No.4

info22 · ベストアンサー

#1です。
普通の積分領域の書き方の
A:{(x,y)|0≦x≦1,0≦y≦2}
でAを書いてくれれば分かり易いだが、
問題の作成者は一般に殆ど使われない
A=[0,1]×[0,2]
で優越感をもつのだろうか？

∫∫A (x^2+2y) dxdy
=∫[0,2]{∫[0,1](x^2+2y) dx}dy
=∫[0,2]{[(x^3)/3+2yx][0,1]}dy
=∫[0,2]{(1/3)+2y}dy
= ←　後は一変数の定積分なのでできますね。

お礼

お返事遅くなりました。
いつも的確なアドバイスありがとうございます。
解き方ありがとうございます。大変よくわかりました。

回答No.3

arrysthmia

重積分を反復積分に帰着する方法 ↓
http://next1.cc.it-hiroshima.ac.jp/MULTIMEDIA/calc/node55.html

お礼

情報ありがとうございます。
こんなページがあったんですね。
勉強不足につき、すぐにはとけないですが、これをヒントにがんばってみます。

回答No.2

Tacosan

普通 [0, 1]×[0, 2] と書くと集合
{(x, y) | 0 ≦ x ≦ 1, 0 ≦ y ≦ 2}
のことだと思う. [0, 1] で閉区間を表していて, ×は集合の直積だから.
x が 0→0 だったら計算するまでもなく積分値は 0 だよ....

お礼

初歩的な質問にも親切にお答えいただき、ありがとうございます。
これをヒントにがんばって解いてみます。
またわからない点があれば質問するかもしれませんが、
よろしくお願いします。

回答No.1

info22

>A=[0,1]×[0,2]で
この積分領域の定義は一般的ではありませんので
問題の作成者に確認して下さい。

お礼

アドバイスありがとうございます。
やはり、そうでしたか。。。
手元の参考書にも、こんな定義の例がなかったので、困ってた次第です。