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この重積分の問題が解けません・・・
以下の重積分が分からず、困っています。 どなたか解ける方がいれば、教えて頂きたいです。 よろしくお願いします。 ∬(x+y)^2 dxdy x+y≦2 0≦x 0≦y
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x+y≦2、 0≦x、 0≦y で囲まれた閉集合を考えます。 x+y≦2から、y≦2-x yについての積分区間は、0～2-x xについての積分区間は、0～2 ∬(x+y)^2 dxdy =∫[0～2]{∫[0～2-x](x+y)^2dy}dx =∫[0～2]{∫[0～2-x](x^2+2xy+y^2)dy}dx =∫[0～2]{[x^2y+xy^2+y^3/3}[0～2-x]}dx =(1/3)∫[0～2]{3x^2(2-x)+3x(2-x)^2+(2-x)^3)}dx =(1/3)∫[0～2](-x^3+8)dx =(1/3)[-x^4/4+8x][0～2] =1/3×(-2^4/4+8×2) =1/3×15 =5
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ANo.1とANo.2の回答者です。 もっと簡単にできましたね。 x+y≦2、 0≦x、 0≦y で囲まれた閉集合を考えます。 x+y≦2から、y≦2-x yについての積分区間は、0～2-x xについての積分区間は、0～2 ∬(x+y)^2 dxdy =∫[0～2]{∫[0～2-x](x+y)^2dy}dx =∫[0～2]{[(x+y)^3/3][0～2-x]}dx =(1/3)∫[0～2](2^3-x^3)dx =(1/3)[8x-x^4/4][0～2] =1/3×(8×2-2^4/4) =1/3×12 =4
お礼
詳しくご解説頂きありがとうございます。 分かりました、助かりました。 この度はありがとうございます。お礼が遅くなってしまいごめんなさい。
ANo.1の訂正です。 ANo.1は無視してください。 x+y≦2、 0≦x、 0≦y で囲まれた閉集合を考えます。 x+y≦2から、y≦2-x yについての積分区間は、0～2-x xについての積分区間は、0～2 ∬(x+y)^2 dxdy =∫[0～2]{∫[0～2-x](x+y)^2dy}dx =∫[0～2]{∫[0～2-x](x^2+2xy+y^2)dy}dx =∫[0～2]{[x^2y+xy^2+y^3/3}[0～2-x]}dx =(1/3)∫[0～2]{3x^2(2-x)+3x(2-x)^2+(2-x)^3)}dx =(1/3)∫[0～2](-x^3+8)dx =(1/3)[-x^4/4+8x][0～2] =1/3×(-2^4/4+8×2) =1/3×12 =4
お礼
詳しくご解説頂きありがとうございます。 お陰さまで理解できました。 この度はありがとうございます。お礼が遅くなってしまいごめんなさい。
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お礼
詳しくご解説頂きありがとうございます。 1番最初に回答して下さったので、ベストアンサーに選ばさせて頂いました。 この度はありがとうございます。お礼が遅くなってしまいごめんなさい。