重積分の問題

質問

よろしくお願いします。

∬_A〖xy^2 〗 dxdyを求めよ。ただし、A:2≤y-x,x^2+y^2≪4

2≤y-xより、x+2≤y……(1)
x^2+y^2≪4より、-√(4-x^2 )≤y≤√(4-x^2 )……(2)
とるべきxの値は、図で示すと明らかなように-2≤x≤0……(3)
よって、求めるべき重積分は、
∫_(x+2)^(√(4-x^2 ))∫_(-2)^0〖xy^2 dxdy〗 である。

という、式の組み立てをしましたが、これであってるでしょうか。
なお、∫_(下のほう)^(上のほう)で書きました。
また、この組み立てであっているのならば、そのときはどう式を展開するのでしょうか。
積分なのに、負の数が出てくることはありえない（自分は見たことがありません）ように思える一方で、
図で示すと、明らかにxは負の値をとっていますので、そうなることもあるのかなとも思います。

どうか、ご回答いただけますよう、よろしくお願いします。

回答No.1

rnakamra · ベストアンサー

>∫_(x+2)^(√(4-x^2 ))∫_(-2)^0〖xy^2 dxdy〗

これはxとyの順番が逆。
∫_(-2)^0∫_(x+2)^(√(4-x^2 ))〖xy^2 dydx〗
となります。
内側の∫から先に計算されます。つまり、
∫_(-2)^0[∫_(x+2)^(√(4-x^2 ))〖xy^2 dy〗]dx
と計算します。

ただ、これだと計算が少し面倒。最初の積分で根号が出てくるため少しだけですが計算に工夫が必要。

これはxでの積分を先に行う方が楽。xの領域には注意が必要(-√(4-y^2)≦x≦y-2)ですが、xでの積分が終わった段階で根号が出てこない(xを積分することでx^2となるため2乗されて整式になります)ため計算が多分楽になります。

この積分の値は負となります。別に積分の値が負になっても何ら問題はありません。

お礼

ありがとうございました！！　たぶん、解けました。

回答No.2

noname#232123

I=∫[-2 to 0]{∫[(x+2) to √(4-x^2)] x*y^2dy}dx
=∫[-2 to 0](x/3)*{√(4-x^2) - (x+2)^2}dx
=(1/3)*[(-1/5)*(4-x^2)^(5/2) - (1/4)*x^4 - (4/3)*x^3 - 2x^2]
=4/15.
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※ 計算ミス、タイプミスもありえます。結果ではなく、１～３行目に注目してください。