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重積分に関する問題です。
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#1さんの初めの方の方針に従い、まず x=r・cosθ、y=r・sinθ と変換します。 図の黄色の環は D = {(x,y):1<= x^2+y^2 <=4})。 その中の微小面積は図より明らかに、dx・dyから、r・dθ・dr に変わります。 問題文の ∫∫[D] 1/x^2+y^2 dxdy はカッコがなくて判りづらい。 元の問題では ∫∫[D] 1/(x^2+y^2) dxdy のことでしょうから、 与式=∫∫(1/r^2)r・dθ・dr=∫<0→2π>dθ・∫<1→2>(1/r)dr =2π・∫<1→2>(1/r)dr=2π・{log2-log1}=2π・log(2/1) =2π・log2 ただし log は自然対数。
その他の回答 (1)
- rnakamra
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通常このような場合は変数変換して解きます。 x=r*cosθ,y=r*sinθとして積分範囲をr,θの範囲に変えます。 後はヤコビアンを計算して計算を行うだけ。 もうひとつの方法としては積分範囲をわかりやすい形に変える事。 積分の範囲がドーナツ状であるなら、大きい円の部分で積分した値から小さい円の部分で積分した値を引けばよいでしょう。 つまり、D1={(x,y)|0≦x^2+y^2≦4},D2={(x,y)|0≦x^2+y^2≦1} として ∫∫[D]{・・・}dxdy=∫∫[D1]{・・・}dxdy-∫∫[D2]{・・・}dxdy
お礼
すいませんヤコビアンで dxdy = rdrdθ としたら簡単だったんですね。 助かりました。 ありがとうございました^^
補足
回答ありがとうございます^^ とても助かります。 大きい円から小さい円を引くのはおもいついたんですが、 その積分計算でとまってしまったんです。。。 すいません。
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お礼
回答ありがとうございます^^ とても助かりました。 図まで載せて分かりやすく説明してくれてありがとうございました。