重積分の問題です。

質問

1.2重積分の問
(1)∫∫(x＾2)( √y) dxdy
D:x＾2+y＾2≦9, y≧0, x≧0
(2)∫∫{xe＾(2y＾2)}ydxdy
D:x≧0, (1/2)x＾2≦y≦1

2.広義2重積分の問
∫∫e＾{-(x＾2+y＾2)} dxdy
D:x≧0

3.Dを4つの平面x+y+z=1, x=y=z=0, によって囲まれた有界閉領域として、このときの3重積分の値
I=∫∫∫[1/{(1+x+y+z)＾2}] dxdydz

上記の3問が分かりません。
どなたかご教授下さい。

回答No.1

info22_ · ベストアンサー

1
(1)
xy座標を極座標(r,t)に変換
　x=rcos(t),y=rsin(t), 0≦r≦3, 0≦t≦π/2
　dxdy=rdrdt
逐次積分で表すと

I=∫[0,3] r^(7/2)dr ∫[0,π/2] (cos(t))^2*(sin(t))^(1/2)dt
=I1*I2

I1=∫[0,3] r^(7/2)dr =18√2

I2=∫[0,π/2] (cos(t))^2*(sin(t))^(1/2)dt

u=sin(t)で置換積分
　t:[0,π/2]→u:[0,1], du=cos(t)dt,
　(cos(t))^2*(sin(t))^(1/2)dt=cos(t)(sin(t))^(1/2)du=√(u(1-u^2))du

I2=∫[0,1] √(u(1-u^2))du
この積分は初等関数の範囲では積分できないが収束するので数値計算で計算可能です。

大学レベルで、特殊関数オイラーガンマ関数Γ(x)またはβ関数を使えば以下のように
積分値を求めることができます（詳しくは特殊関数論や大学数学での微積分等を見てください）。

I2=[Γ(-1/4)^2]/[20√(2π)]　or β(3/4,3/2)/2
　=0.47925609389423688…

(2)
D:x≧0, (1/2)x＾2≦y≦1
I=∫[0,√2] xdx∫[(1/2)x^2,1] y e＾(2y＾2)dy
= ∫[0,√2] xdx [(1/4) e＾(2y＾2)] [y:(1/2)x^2,1]
= (1/4)∫[0,√2] x [e^2- e＾((1/2)x＾4)] dx
= (1/4)(e^2)-(1/4)∫[0,√2] x e＾((1/2)x＾4) dx
後半の積分は初等関数の範囲では積分できないが数値積分なら可能である。

大学数学レベルになるが、特殊関数の虚数誤差関数erfi(x)=-i*erf(ix)またはDawson積分F(x)を使えば積分値を求めることができる（大学数学の微積分や特殊関数論などで学ぶかと思う。詳細はそちらを参照して下さい。
http://en.wikipedia.org/wiki/Dawson_function
F(x)=-(i/2)(√π)erf(ix)

I=(1/4)(e^2)-(1/16)√(2π) i erf (i √2) or　(1/4)(e^2)+(1/8){√(2π)}F(√2)
=1.256150551531…
(eはネピア数（自然対数の底）

２
x=rcos(t), y=rsin(t)と置換
　D:{(x,y)|x≧0}→E:{(r,t)|0≦r<∞, -π/2≦t≦π/2}
　dxdy=rdrdt
逐次積分で表すと
I=∫[-π/2,π/2] dt∫[0, ∞] r exp(-r^2)dr
=π[-(1/2) exp(-r^2)] [r:0, ∞]
=π/2

３
逐次積分で表すと
I=∫[0,1] dx∫[0,1-x] dy ∫[0,1-x-y] 1/{(1+x+y+z)＾2}dz
=∫[0,1] dx∫[0,1-x] [1/(1+x+y)-1/2] dy
=∫[0,1] [{x+2log(2)-1}/2-log|x+1|] dx
={2log(2)-1}/2+∫[0,1] [x/2-log(x+1)] dx
=3/4-log(2)
(ただし、logは自然対数です。）