大学の重積分の問題をおしえてください

質問

(1)は答が合わなくて(2)は手が出ません。
最初の式だけでもいいのでおねがいします。

(1)∫∬(D) x^2+y^2+z^2 dxdydz, D:x,y,z≧0, 　x+y+z≦1

答:1/20

自分の答:

∫(0,1)∫(0,1-x)∫(0,1-x-y)・ x^2+y^2+z^2 dzdydx

=∫(0,1)∫(0,1-x)・ (1-x-y)*(x^2+y^2)+(1/3)*(1-x-y)^3 dydx

=∫(0,1)・ (1/2)x^2*(1-x)^2+(1/12)*(1-x)^4 dx

=∫(0,1)・ (7/12)*(x-1)^4+(x-1)^3+(1/2)*(x-1)^2 dx

=(7/60)-(1/4)+(1/6)=1/30 //

(2)∫∬(D) xyz dxdydz, D: 0≦x≦y≦z≦1

答: 1/48

積分領域をどうしていいのか分かりません、正四面体になると思うのですが。

回答No.3

info22 · ベストアンサー

(1)は
>∫(0,1)[∫(0,1-x){∫(0,1-x-y)(x^2+y^2+z^2) dz}dy]dx
>=∫(0,1)[∫(0,1-x){(1-x-y)*(x^2+y^2)+(1/3)*(1-x-y)^3}dy]dx
>=∫(0,1){(1/2)x^2*(1-x)^2+(1/12)*(1-x)^4}dx
ここで間違い↑
=∫(0,1){(1/2)*(x^2)*(1-x)^2+(1/6)*(1-x)^4}dx

>=∫(0,1){(7/12)*(x-1)^4+(x-1)^3+(1/2)*(x-1)^2}dx
間違い↑
=(1/6)∫(0,1)[4*(x-1)^4+6*(x-1)^3+3*(x-1)^2]dx
=(1/6)*{(4/5)-(3/2)+1)}=1/20

(2)は積分の順序を変えると積分の範囲が下記のように変わります。
いずれも同じ積分領域で積分していますので積分結果は同じになります。

∫[0,1] z[∫[0,z] y{∫[0,y]xdx}dy]dz
∫[0,1] z[∫[0,z] x{∫[x,z]ydy}dx]dz
∫[0,1] x[∫[x,1] z{∫[z,1]ydy}dz]dx
∫[0,1] x[∫[x,1] y{∫[y,1]zdz}dy]dx
∫[0,1] y[∫[y,1] x{∫[x,1]zdz}dx]dy
∫[0,1] y[∫[y,1] z{∫[z,1]xdx}dz]dy
=1/48

お礼

画像まで貼っていただきありがとうございます。
どこが間違っていたかが分かり無事解決できました。

回答No.2

Tacosan

(1): Maxima に計算させたところでは, 途中 y で定積分するところで第1項の積分を間違えているようです.
ただし, 対称性から z^2 についてのみ計算してから 3倍した方がはるかに簡単だと思います.

お礼

ありがとうございます。

回答No.1

nag0720

(2)だけ

∫[0,1]∫[x,1]∫[y,1]xyz dxdydz

を計算します。

お礼

ありがとうございます。