重積分の問題なのですが

質問

∫∫∫[D] (x^2+y^2+z^2)dxdydz. D:x^2+y^≦2azとx^2+y^2+z^2≦3a^2
と言う重積分の問題なのですが、まずやはりaの正負を場合わけするべきでしょうか、次にこの範囲は球とｚ方向に三次元に広がる放物線に挟まれた領域と考えて重積分すれば解けますか？m(_ _)m
アドバイスお願いします(>_<)

回答No.1

info22_ · ベストアンサー

>まずやはりaの正負を場合わけするべきでしょうか、
場合分けすべきです。

積分領域Dは半径R=√3|a|の球の内部（球面を含む）の内、回転放物面の上の領域か下の領域かがaの正負により変わりますし、回転放物面の凹凸も上下逆に変化します。
したがって、aの正負によって場合分けすべきしょう。

>球とｚ方向に三次元に広がる放物線に挟まれた領域と考えて重積分すれば解けますか？
そうですね。回転放物面によって球は上下2つの部分に分割されますが、「a>0の場合は回転放物面の上側の領域、a<0の場合は回転放物面の下側の領域」について体積積分します。

積分領域および被積分関数は、z軸に対して回転対称であることを利用して積分すれば簡単に積分できるでしょう。

aがゼロとすると積分領域が点になって積分そのものが0になってしまいます。
なので場合分けはa>0またはa<0で行います。

a>0の場合
I=2π∫[0,a]dz∫[0,√2az)(r^2+z^2)rdr
+2π∫[a,√3a]dz∫[0,√(3a^2-z^2)](r^2+z^2)rdr
= …
=(2π/5)(a^5){(9√3-1)(a^4)+(9√3-1)(a^2)+(9√3-11)}

a<0の場合
I=2π∫[√3a,a]dz∫[0,√(3a^2-z^2)](r^2+z^2)rdr
+2π∫[a,0] dz∫[0,-√2az)(r^2+z^2)rdr
= …
=(2π/5)(-a^5){(a^4)+(a^2)+(9√3-11)}

（注意）計算は自信がないので、計算が合っているかは自分で計算し確認して下さい。