- ベストアンサー
重積分の体積
重積分の体積の問題で分からないものがあります。 どなたか解説頼みます(__ (1)Z=2-x^2-(y/2)^2とxy平面で囲まれる立体の体積を求めよ。 (2)2曲面Z=x^2+y^2-1とZ=-2x^2-2y^2で囲まれる立体の体積 (3)球x^2+y^2+z^≦a^2と円柱x^2+y^2≦axの共通部分。ただしa>0。 (1)まず与えられた式を立体に図示できないのですが、それぞれどんな形の式になるのでしょうか? (2)図示できなので範囲もわからないです^^; それさえできればあとは積分するだけですよね? (1),(2)の疑問を解説して下さい(__
- th8601
- お礼率3% (3/94)
- 数学・算数
- 回答数3
- ありがとう数3
- みんなの回答 (3)
- 専門家の回答
質問者が選んだベストアンサー
#1,#2です。 (1) (1)も立体の図を作りましたので添付します。 A#1で書いた積分はできましたか? 当方の計算では「V=4π」と出ています。 (2) 当方の計算では「V=π/6」と出ています。
その他の回答 (2)
- info22_
- ベストアンサー率67% (2650/3922)
#1です。 A#1の回答の文頭が欠如してしまいました。 先頭の「の」を削除するか 「被積分関数と積分領域」を文頭に補うかしてください。 (2)の補足 A#2のdxdyの逐次積分は x=r*cos(t),y=r*sin(t)と極座標に変換すると簡単に積分できるでしょう。 (2)の立体の形状の図を添付します。
- info22_
- ベストアンサー率67% (2650/3922)
の対称性を使うことで積分範囲を限定して積分が出来ます。 (1) Z=一定とおけば(水平面でカットすれば)楕円の断面、 x=一定またはy=一定とおけばZ軸の上向きに凸の放物線の断面 となる立体です。立体の体積Vは以下の積分によって表せる。 V=4∫[0,√2][∫[0,2√(2-x^2)]{2-x^2-(y/2)^2}dy]dx 積分はやってみて下さい。 分からなければ、途中計算を補足に書いて分からない箇所だけ 質問して下さい。 (2) 水平断面は共に円形断面、前の曲面の「Z軸方向断面は上に凸の放物面」と 後ろの曲面の「下に凸の放物面」によって囲まれた立体で、体積Vは V=4∫[0,1/√3]∫[0,√{(1/3)-x^2}] {(-2(x^2+y^2)-(x^2+y^2-1)}dy]dx =12∫[0,1/√3]∫[0,√{(1/3)-x^2}] {(1/3)-(x^2+y^2)}dy]dx (3) a=2とした場合の類似題と解答が以下にありますので参考にして下さい。 http://www.shimanet.ed.jp/minami/link/homepage-naga005/grapes-001/viviani-all-volume005.pdf
関連するQ&A
- 急いでます。.重積分の問題です
急いでます。.重積分の問題です (1) ∫∫√(xy-x^2)dxdy {(x,y)|0<x<y<2x<2} (2) 曲面bz= x^2+y^2(b>0)と円柱面x^2+y^2=ax(a>0)と平面:z=0に囲まれた部分の体積を求めよ (3)曲面:z=x^2+y^2と平面z=xに囲まれた体積を求めよ
- 締切済み
- 数学・算数
- 急いでます。.重積分の問題です
(1) ∫∫√(xy-x^2)dxdy {(x,y)|0<x<y<2x<2} (2) 曲面bz= x^2+y^2(b>0)と円柱面x^2+y^2=ax(a>0)と平面:z=0に囲まれた部分の体積を求めよ。 (3)曲面:z=x^2+y^2と平面z=xに囲まれた面積を求めよ。
- 締切済み
- 数学・算数
- 立体の体積 極座標 (二重積分)
次の立体の体積を求めよ。 (1)曲面z=4-(x^2)-(y^2)とxy平面で囲まれた立体 (2)球(x^2)+(y^2)+(z^2)=4が、円柱(x^2)+(y^2)=2xで切り取られる部分。 二重積分と極座標を用いるってのはわかりましたが、半径をr,角度をθとすると、それらの積分区間がわかりません。よろしくお願いします。
- 締切済み
- 数学・算数
- 積分 体積 表面積
(1)円柱x^2+y^2=a^2(a>0)のxy平面の上方でかつ平面z=xの下方にある部分の体積 (2)双曲放物面z=xy,柱面(x-2)^2+(y-1)^2=1および平面z=0によって囲まれる部分の体積 (3)底面の半径aの直円柱から、その底面の直径を通り底面とα(0<α<π/2)の角をなす平面で切り取った部分の体積 (4)2つの放物柱面z=1-x^2,x=1-y^2によって囲まれる立体をxy平面で切った部分の体積 (ヒント;0≦z≦1-x^2,x≦1-y^2よりxy平面のD領域を求める。) 以上の問題をどなたか解いてください、お願いします。 積分範囲の求め方について詳しい解説がいただけると幸いです。
- 締切済み
- 数学・算数
- 求積問題(条件・重積分により求める)
(1)z=4-x^2-y^2とxy平面で囲まれた立体の体積 (2)球x^2+y^2+z^2<=9と円柱x^2+y^2<=9の共通部分の体積 (3)円柱x^2+y^2<=a^2(a>0)のxy平面の上方、平面z=xの下方にある部分の体積 (4)球x^2+y^2+z^2<=4を平面x=1で切り取ったとき、x>=1の部分の体積 重積分で立体の体積を求める方法がさっぱりわかりません。 特に領域Dは2関数を等式で結んで求める方法を習ったのですが、 上記のような問題でどう使用したらいいのか見当もつきません。 出来れば○○のような問題はこう解くというパターンとその見極め方まで ご教授いただけると助かります。 傾向別に指南してくだされば答えはお教えいただかなくても構いません。
- 締切済み
- 数学・算数
- 立体の体積を求める問題を教えてください
三次元空間において、曲面z=5x^2+4xy+8y^2と平面z=1で囲まれた図形の体積の求め方を教えてください。 恥ずかしいことに、何をしていいのか全く分かりません。 z=1のときのxy平面上の図形の面積を求めて、それをz方向に積分するのでしょうか?そうだとしたら、z=1からどこまでか分かりません。囲まれたとありますから、与えられた曲面の最大値(最小値)を求めて、z=1からz=最大値(最小値)まで積分するのでしょうか? 回答よろしくお願いいたします。
- 締切済み
- 数学・算数
お礼
図まで付けていただきありがとうございました(__ おかげで理解できました(__