重積分の領域について

質問

∫(0→e)dx∫(0→logx) (1+y)/x dy を順序変更して累次積分せよ。

という重積分の問題なのですが、この積分領域がわからずに困っています。

単純に、D：{(x,y)｜0≦x≦e , 0≦y≦logx}　と解釈して、この積分領域を図示すると結局、
Dは、D'：｛(x,y)｜1≦x≦e , 0≦y≦logx｝という領域と同じようになってしまい、与式の重積分のxの積分区間を0→eと書く意味がない(1→eとはじめから書いてあればいい)ので、この解釈は誤りな気がします。

そこで,0≦y≦logxの部分を
0<x≦1のとき　logx≦y≦0 , 1≦x≦eのとき　0≦y≦logx　という解釈をしてみて、
領域D1:｛(x,y)｜ 1≦x≦e,0≦y≦logx｝領域Dn:｛(x,y)｜1/n≦x≦1, logx≦y≦0｝という領域に分割してみて、順序変更するために
領域D1:｛(x,y)｜ e^y≦x≦e,0≦y≦1｝領域Dn:｛(x,y)｜1/n≦x≦e^y, log(1/n)≦y≦0｝
と書き直し、

(与式)=∫(0→1)dy∫(e^y→e) (1+y)/x dx
+ lim(n→∞) ∫(log(1/n)→0) dy∫(1/n→e^y) (1+y)/x dx

として解いてみたところ、第2項が発散してしまい収束値が求められませんでした。
この領域の解釈も間違いなのでしょうか?

今回のように積分領域が捉えづらい問題の場合、どのようにそれを判別すればよいのかをご指導いただけるとありがたいです。

式の表示がわかりにくく、大変お手数をおかけしますが、回答よろしくおねがい致します。

回答No.2

info22_ · ベストアンサー

No.1です。

ANo.1の補足の質問の回答

>>xy座標平面の領域として描けば、分かり易いでしょう。
>とのことですが、今回の場合はどう解釈すればよいのでしょうか??

累積積分
∫(0→e)dx∫(0→logx) (1+y)/x dy
の積分領域は添付図の青の領域（領域(3)）と赤の領域（領域(2)と領域(3)）を合わせた陵域となります。

>例えば、∫(-1→2)dx∫(x^2→x+2) f(x,y) dy みたいな問題ですと、
>x:-1→2 において常に　x^2<x+2 ですから、すぐに図示して、積分領域がわかるのですが
>今回は
>xの値により0とlogxの大小は逆転してしまいますから、重積分の表示として
>∫(0→e)dx∫(0→logx) (1+y)/x dy 　とまとまっていることに違和感を感じるのです。
>自分の質問における後者の積分の解釈で正しいのでしょいうか？
>もしそうなら、
>∫(0→e)dx∫(0→logx) (1+y)/x dy 　ではなく
いいえ、このままで良いです。
積分の性質として、積分範囲の下限と上限を入れ替えると積分値の符号が逆になります。
　∫[a,b]f(x)dx=-∫[b,a]f(x)dx
この性質は２変数以上の累次積分でも変わりません。
また、積分値は積分範囲や被積分関数によっては正負や０の値をとります。しかし面積や体積を重積分で求める際は、積分範囲の順序や被積分関数の取り方に注意し、面積や体積が正値をなるように、選ぶ必要があります。

積分範囲の下限の方が小さく、上限の方を大きくしたければ、下限と上限を入れ替えて積分の前にマイナスの符号を付けてやればいいだけのことです。

>∫(0→1)dx∫(logx→0)(1+y)/x dy + ∫(1→e)dx∫(0→logx) (1+y)/x dy
これは間違いです。積分範囲の上限と下限を入れ替えるなら、積分値（または被積分関数）に「-1」をかけてやらないといけません。
正：∫(0→1)dx (-1)∫(logx→0)(1+y)/x dy + ∫(1→e)dx∫(0→logx) (1+y)/x dy

>となっていると表示として、納得いくのですが….
独りよがりの納得はしないでください。

>また、発散するというのはどのようにしてすぐわかるものでしょうか??
>x=0では、この被積分関数が定義されず∞になり、曲面の高さが∞となることはわかるのですが、
>x:0→1/n の無限小と相殺して収束することもありえるのでは?
>と感じてしまいます….

添付図のように積分範囲を(1)、(2)、(3)に分けてやります。
(2)と(3)のy積分範囲では積分範囲の下限>上限となっています。
(2)では被積分関数≧0
(3)では被積分関数＜0
となっているので
(1)>0, (2)<0, (3)>0(+∞)
の積分値となります。

∫(0→e)dx∫(0→log(x)) (1+y)/x dy =(1)＋(2)＋(3)
(1)=∫(1→e)dx∫(0→log(x)) (1+y)/x dy=2/3
(2)=∫(1/e→1)dx∫(0→log(x)) (1+y)/x dy=∫(1/e→1)dx∫(log(x)→0) -(1+y)/x dy=-1/3
(1)と(2)の積分は簡単ですからできますね？

(3)=∫(0+→1/e)dx∫(0→log(x)) (1+y)/x dy=∫(0+→1/e)dx∫(log(x)→0) -(1+y)/x dy
=-∫(0+→1/e)(1/x)dx∫(log(x)→0) (1+y)dy
=-∫(0+→1/e))(1/x)[-log(x)-(log(x))^2/2)] dx
=[(1/2)(log(x))^2+(1/6)(log(x))^3](0+→1/e)
=(1/2)-(1/6)-(1/6)lim(x→0+)(log(x))^2{3+log(x)}
=(1/3)-(1/6)(+∞)*(-∞)=+∞（発散）

お礼

載せていただいた解説を読みながら、『なるほど!!』と思いました。
手持ちの問題集を数冊調べてみても本問のような類題が載っておらず困っていました。
図もまじえた丁寧な解説で大変満足いく回答を頂きました。本当にありがとうございます。
また、よろしくお願いします。

回答No.1

info22_

累次積分
∫(0→e)dx∫(0→logx) (1+y)/x dy
は積分してみると発散します。

累次積分の積分順序を変更してもやはり発散します。
当然といえば当然ですが…。

重積分の積分領域はxy座標平面の領域として描けば、分かり易いでしょう。

補足

回答ありがとうございます。
>xy座標平面の領域として描けば、分かり易いでしょう。
とのことですが、今回の場合はどう解釈すればよいのでしょうか??

例えば、∫(-1→2)dx∫(x^2→x+2) f(x,y) dy みたいな問題ですと、
x:-1→2 において常に　x^2<x+2 ですから、すぐに図示して、積分領域がわかるのですが
今回は
xの値により0とlogxの大小は逆転してしまいますから、重積分の表示として
∫(0→e)dx∫(0→logx) (1+y)/x dy 　とまとまっていることに違和感を感じるのです。
自分の質問における後者の積分の解釈で正しいのでしょいうか？
もしそうなら、
∫(0→e)dx∫(0→logx) (1+y)/x dy 　ではなく

∫(0→1)dx∫(logx→0)(1+y)/x dy + ∫(1→e)dx∫(0→logx) (1+y)/x dy

となっていると表示として、納得いくのですが….

また、発散するというのはどのようにしてすぐわかるものでしょうか??
x=0では、この被積分関数が定義されず∞になり、曲面の高さが∞となることはわかるのですが、x:0→1/n の無限小と相殺して収束することもありえるのでは?
と感じてしまいます….