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次の重積分を求めよがわかりません。
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この積分は、被積分関数が (e の -x 乗)(e の -y 乗) というように x の関数と y の関数の積で書けます。いわゆる「変数分離形」です。 ∫∫f(x)g(y)dxdy は、g(y) が dx について定数なので、 ∫f(x)dx から括り出して = ∫(g(y)∫f(x)dx)dy とすることができ、 更に、∫f(x)dx を dy についての定数として ∫g(y)dy から括り出せば、 結局、= (∫f(x)dx)(∫dg(y)dy) と変形できます。 質問の例では、与式 = (∫[0,1](eの-x乗)dx)(∫[0,∞](eの-y乗)dy) = (1 - 1/e)(1 - 0) = (e-1)/e となります。
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