次の繰り返し積分の積分順序を交換して値を求めろ

質問

次の繰り返し積分の積分順序を交換して値を求めろという問題がいくら考えてもわかりません・・・
∫[0→1] (∫[0→√(1-x^2)]　x/√(x^2+y^2) dy)　dx

計算過程を書いて説明してもらえると幸いです。
よろしくお願いします。

回答No.1

alice_44 · ベストアンサー

領域 0＜x＜1, 0＜y＜√(1-x2乗) を
x=一定 ではなく y=一定 でスライスせよということです。

xy 平面に図示すれば判るように、
領域は第一象限の単位四分円であり、
0＜y＜1, 0＜x＜√(1-y2乗) と書けます。
よって、
∫[0＜x＜1] ∫[0＜y＜√(1-x2乗)] x/√(x2乗+y2乗) dy dx
= ∫[0＜y＜1] ∫[0＜x＜√(1-y2乗)] x/√(x2乗+y2乗) dx dy
であり、
= ∫[0＜y＜1] (1-｜y｜) dy
= 1 - 1/2
となります。
積分順序を交換すると、置換積分 t = x2乗 が使えて、
内側の積分が簡単になるんですね。

極座標変換する手もあるけれど…