累次積分の計算問題

質問

数学の累次積分の計算問題なんですが、

I = ∫∫ y /(1+x^2+y^2)^2 dy dx

積分範囲はそれぞれ
0 ≦ x ≦ 1
0 ≦ y ≦ 1
です

どのように計算したらいいかわかりません

また積分順序を変えた場合のほうもお願いします

回答No.1

info22_ · ベストアンサー

yの積分を先にする場合
I=∫[0,1]dx∫[0,1] y /(1+x^2+y^2)^2 dy
=∫[0,1]dx[-(1/2)/(1+x^2+y^2)] [0,1]
=(1/2)∫[0,1] (1/(x^2+1))-(1/(x^2+2))dx
=(1/2)[tan-1(x)-(1/√2)tan-1(x/√2)] [0,1]
=(π/8)-(1/(2√2))tan-1(1/√2)

xの積分を先にする場合
∫[0,1]ydy∫[0,1] 1/(1+x^2+y^2)^2 dx
=∫[0,1] ydy
[(1/2)tan-1(x/√(1+y^2))/(1+y^2)^(3/2)+(1/2)x/((1+y^2)(1+x^2+y^2)] [0,1]
=(1/2)∫[0,1] {ytan-1(1/√(1+y^2))/(1+y^2)^(3/2) +y/((1+y^2)(2+y^2))}dy
=(1/2)[-tan-1(1/(1+y^2))/√(1+y^2)][0,1]
=(1/2)[tan-1(x)-(1/√2)tan-1(x/√2)]
=(π/8)-(1/(2√2))tan-1(1/√2)

結果は同じだけれど、積分計算は後者の方が難易度大です。

お礼

回答ありがとうございます

x,yどちらを先に積分するかでこんなにも難易度が違うんですね。