累次積分の順序変更

質問

累次積分の積分順序の変更

累次積分
∫（１→２）ｄｙ∫（ｙ－１→ｙ＋１）ｆ（ｘ、ｙ）ｄｘ
の積分順序を変えよ

1≦ｙ≦2 y-1≦x≦y+1 だから。

xy平面にグラフを書く。
すると平行四辺形がかけました。

↑の累次積分ではｘの積分→ｙの積分の順序なので
ｙの積分→ｘの積分に順序を変えます。

以上からグラフの形より積分を３つに分けて
｛∫（０→１）ｄｘ∫（１→ｘ＋１）ｆ（ｘ、ｙ）ｄｙ｝＋｛∫（１→２）ｄｘ∫（１→２）ｆ（ｘ、ｙ）ｄｙ｝
＋｛∫（２→３）ｄｘ∫（ｘ－１→２）ｆ（ｘ、ｙ）ｄｙ｝

このようになりました。
わざわざ３つにわける必要はなかったでしょうか？

そもそもやり方はあってるのでしょうか。。。

どなたか教えていただけないでしょうか！

回答No.3

info22_ · ベストアンサー

>わざわざ３つにわける必要はなかったでしょうか？
積分領域の分け方は他にも何通りかありますが、x,y座標のまま
直接、y,xの順に積分するのであれば、xの範囲を3つに分けて累次積分する必要はあります。

>そもそもやり方はあってるのでしょうか。。。
質問者さんの素直なxでの積分を3分割するやり方で合っています。

平行四辺形領域を累次積分すればよいから他にも色々なやり方はあります。

別解1
　｛∫(0→3)dx∫(1→x+1)ｆ(x,y)dy｝-｛∫(1→3)dx∫(2→x+1)f(x,y)dy｝
-｛∫(2→3)dx∫(1→x-1)f(x,y)dy｝

別解1'
　｛∫(0→3)dx∫(0→x)ｆ(x,y+1)dy｝-｛∫(1→3)dx∫(1→x)f(x,y+1)dy｝
-｛∫(2→3)dx∫(0→x-2)f(x,y+1)dy｝

別解2
　｛∫(0→3)dx∫(1→2)ｆ(x,y)dy｝-｛∫(0→1)dx∫(1→x+1)f(x,y)dy｝
-｛∫(2→3)dx∫(1→x-1)f(x,y)dy｝

別解2'
　｛∫(0→3)dx∫(0→1)ｆ(x,y+1)dy｝-｛∫(0→1)dx∫(0→x)f(x,y+1)dy｝
-｛∫(2→3)dx∫(0→x-2)f(x,y+1)dy｝

など...。

回答No.2

alice_44

u=x-y と置いて x を消去すれば、
分割する必要もなくなるが…
それは、累次積分の順序交換とは
また別の話だよね？

回答No.1

alice_44

三つに分ける必要はあるが、
平行四辺形 を (三角形)＋(長方形)＋(三角形) に分けるより、
(長方形)ー(三角形)ー(三角形) に分けたほうが、
計算の手間は減るように思う。