積分順序の交換（２重積分）

質問

累次積分はすべてにおいて、積分順序の交換は可能なのでしょうか？？
可能でないと思いますが・・・。
例えば、
　　　∫[1→2]｛∫[x→(1/2)x] x/y dy}dx
このような累次積分であれば不可能だと思いまして・・・。
累次積分において積分順序の交換ができるできないの見分け方はなんでしょうか？？

初歩的な質問ですみません。
よろしくお願いします。

回答No.2

Mr_Holland

＃１さんの入れ替えでよいと思います。（ただし、式全体の符号はマイナスになると思いますが。）
　一番単純に積分順序を入れ換えられるのは、被積分変数ｘとｙが独立である場合です。
　しかし、この問題の場合は、ｙの積分範囲はｘに依存して独立ではないので、積分範囲を図示して考えてみたほうが確実です。
　　ｘ：１→２、ｙ：ｘ→ｘ/２
　これをx、ｙ平面上に図示すると、２直線ｘ＝１とｘ＝２と、２直線ｙ＝ｘとｙ＝ｘ/２で囲まれた範囲（ひしゃげた台形）になります。ちなみに、４つの交点は点A(1,1), 点B(1,1/2), 点C(2,1), 点D(2,2)になります。
　今の積分範囲はｘから見たものですが、これをｙからみると、次のように２つの三角形に分解できます。
　　ｙ：1/2→1、ｘ：1→2y　　・・・・△ABC
　　ｙ：1→2、　ｘ：y→2　　・・・・△ACD
　これで＃１さんと同じ積分範囲が求められたと思います。
　最後に符号について確認します。
　元の積分範囲は、
　　ｘ：１→２、ｙ：ｘ→ｘ/２
とｘは増加方向ですが、1≦x≦2の範囲でｙは減少方向になっています。
　一方、ｙについて求めた積分範囲は、すべて増加方向になっていますので、符号が逆転します。
　したがって、積分順序を入れ換えたものは、次のようになります。
　　(与式)＝－[1/2→1]∫dy [1→2y]∫x/y dx－[1→2]∫dy [y→2]∫x/y dx

回答No.1

YearBreak

えと自信はないのですが

∫[1→2]｛∫[x→(1/2)x] x/y dy}dx

これは

∫[1/2→1]dy∫[1→2y] x/y dx + ∫[1→2]dy ∫[y→2] x/y dx

で積分順序入れ替えれるのではないでしょうか？