重積分の順序の交換について
- 重積分の順序の交換によって値が変わることはありません。
- 変数変換を用いて計算すると、両者の積分結果は等しいです。
- 交代式を用いて直線x=yに対称な領域で積分する場合、結果は0になります。
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重積分の順序の交換
非有界な関数f(x,y)を重積分(0≦x≦1,0≦y≦1)することを考えます。 具体的にはf(x,y)=(x-y)/(x+y)^3です。 この時、ｘで先に積分するか、ｙで先に積分するかで値が変わることはありますか？ 僕が行った計算では、変数変換(x,z)=(x,x+y)とすると、ヤコビアンは１でdxdy=dxdzで、 ∫_0^1 dx ∫_0^1 f(x,y) dy =∫_0^1 dx ∫_x^{x+1} (2x-z)/(z^3) dz =∫_0^1 dx 1/(x+1)^2 = 1/2 ｚの積分はxを定数として計算しています。 ここで、逆の順序で積分すると、ｘとｙの変数を入れ替えたものは等しいので、 ∫_0^1 dx ∫_0^1 (x-y)/(x+y)^3 dy =∫_0^1 dy ∫_0^1 (y-x)/(x+y)^3 dx = - ∫_0^1 dy ∫_0^1 (x-y)/(x+y)^3 dx =1/2 よって、 ∫_0^1 dy ∫_0^1 (x-y)/(x+y)^3 dx = -1/2 だと思うのです。 また、直感的には、交代式を直線x=yに対称な領域で積分するなら、 ∫_0^1 dx ∫_0^1 (x-y)/(x+y)^3 dy = 0 が正しいとも思えます。 どうかこの辺の事情をお教えください。
- udcstb0509
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f(x, y) 自体, (x, y) → (0, 0) の極限が存在しないよね. で, 0 ≦ x ≦ 1, 0 ≦ y ≦ 1 の範囲での積分を ε ≦ x ≦ 1, δ ≦ y ≦ 1 (ε, δ は小さな正の定数) で積分して (ε, δ) → (0, 0) の極限をとる って計算すると極限のとりかたでどんな値にもなるんじゃないかな? 確認してないけど.
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