重積分の順序の交換

質問

非有界な関数f(x,y)を重積分(0≦x≦1,0≦y≦1)することを考えます。
具体的にはf(x,y)=(x-y)/(x+y)^3です。
この時、ｘで先に積分するか、ｙで先に積分するかで値が変わることはありますか？

僕が行った計算では、変数変換(x,z)=(x,x+y)とすると、ヤコビアンは１でdxdy=dxdzで、
∫_0^1 dx ∫_0^1 f(x,y) dy
=∫_0^1 dx ∫_x^{x+1} (2x-z)/(z^3) dz
=∫_0^1 dx 1/(x+1)^2
= 1/2

ｚの積分はxを定数として計算しています。
ここで、逆の順序で積分すると、ｘとｙの変数を入れ替えたものは等しいので、

∫_0^1 dx ∫_0^1 (x-y)/(x+y)^3 dy
=∫_0^1 dy ∫_0^1 (y-x)/(x+y)^3 dx
= - ∫_0^1 dy ∫_0^1 (x-y)/(x+y)^3 dx
=1/2

よって、

∫_0^1 dy ∫_0^1 (x-y)/(x+y)^3 dx = -1/2

だと思うのです。

また、直感的には、交代式を直線x=yに対称な領域で積分するなら、

∫_0^1 dx ∫_0^1 (x-y)/(x+y)^3 dy = 0

が正しいとも思えます。

どうかこの辺の事情をお教えください。

回答No.1

Tacosan · ベストアンサー

f(x, y) 自体, (x, y) → (0, 0) の極限が存在しないよね. で, 0 ≦ x ≦ 1, 0 ≦ y ≦ 1 の範囲での積分を
ε ≦ x ≦ 1, δ ≦ y ≦ 1 (ε, δ は小さな正の定数) で積分して (ε, δ) → (0, 0) の極限をとる
って計算すると極限のとりかたでどんな値にもなるんじゃないかな? 確認してないけど.

お礼

的確な助言、助かりました。
その通りでした。

計算結果はdxの積分範囲の下限をε、dyの下限をδとし、
dxを先に積分すると、結果は、

1/2-1/(δ+1)-ε/(1+ε)+ε/(δ+ε)
= -1/2 + ε/(δ+ε)

となりました。代表的な値の時を書くと、

δ<<εの時、1/2
δ = εの時　0
δ>>εの時 -1/2

だったと言うことです。
ありがとうございました。