【急ぎ】重積分について質問です。

質問

S=∬[D]√(4x^2+4y^2+1)dxdy (D:x^2+y^2≦1,z=0)

これを計算するんですが、∫ の範囲の求め方を忘れてしまいました（泣）

単純に、-1≦x≦1、-1≦y≦1ではなかった気がするんです・・・
また、dxについての積分を先にやるのか、dyについての積分を先にやるのかも忘れてしましました（泣）
以前は出来ていたので後でしっかりとできるようにする予定です。
人任せで悪いのですが、この問題を今日の朝までに出来なければいけないので、誰かこの重積分を急ぎで計算していただけませんか？
よろしくお願いします。

回答No.3

alice_44 · ベストアンサー

x = r cosθ,
y = r sinθ で置換して
S = ∬[D'] √(4r^2+1) rdrdθ (D': r^2≦1,0≦θ<2π)
としたほうがオトクな気がするのは、私だけ？
dxdy = rdrdθ であることには、注意が必要だけれども。

dr と dθ の順番は、変数分離形だから考えるまでもなくて、
S = { ∫[r^2≦1] √(4r^2+1) rdr }{ ∫[0≦θ<2π] dθ }
と分けて計算できる。
dr の積分は、更に r^2 = q とか置換してもいい。

回答No.5

alice_44

A No.3 に訂正あり。
∫[r^2≦1] と書くと ∫[-1≦r≦1] みたいだから、
∫[0≦r≦1] と書くべきだった。
0≦r は、変数変換の時点で制約しておかねばならない。
乱筆陳謝。

回答No.4

151A48

♯２です。
すみません。質問の文にひきずられて，変数ｘ，ｙで解こうと，頭が固まってしまいましたが，♯３さんのようにすれば簡単ですね。
ちなみにr√(4r^2+1)の積分は(1/12)(4x^2+1)^(3/2)

回答No.2

151A48

ｙについて０→√(1-x＾２)
xについて０→１
の順でで積分して４倍しておけばよいみたいですが・・・。
やってみましたが解けませんでした。
問題が違っているというのことはないですよね。

回答No.1

Tacosan

範囲の求め方: 積分領域を図示する.

この場合 (x と y に関して対称なので) どちらから積分しても同じ答えになります.

既に「今日の朝」は過ぎてるような気もするが.