- ベストアンサー
【急ぎ】重積分について質問です。
S=∬[D]√(4x^2+4y^2+1)dxdy (D:x^2+y^2≦1,z=0) これを計算するんですが、∫ の範囲の求め方を忘れてしまいました（泣） 単純に、-1≦x≦1、-1≦y≦1ではなかった気がするんです・・・ また、dxについての積分を先にやるのか、dyについての積分を先にやるのかも忘れてしましました（泣） 以前は出来ていたので後でしっかりとできるようにする予定です。 人任せで悪いのですが、この問題を今日の朝までに出来なければいけないので、誰かこの重積分を急ぎで計算していただけませんか？ よろしくお願いします。
- tukkyun
- お礼率0% (0/64)
- 数学・算数
- 回答数5
- ありがとう数0
- みんなの回答 （5）
- 専門家の回答
質問者が選んだベストアンサー
x = r cosθ, y = r sinθ で置換して S = ∬[D'] √(4r^2+1) rdrdθ (D': r^2≦1,0≦θ<2π) としたほうがオトクな気がするのは、私だけ？ dxdy = rdrdθ であることには、注意が必要だけれども。 dr と dθ の順番は、変数分離形だから考えるまでもなくて、 S = { ∫[r^2≦1] √(4r^2+1) rdr }{ ∫[0≦θ<2π] dθ } と分けて計算できる。 dr の積分は、更に r^2 = q とか置換してもいい。
その他の回答 (4)
- alice_44
- ベストアンサー率44% (2109/4759)
A No.3 に訂正あり。 ∫[r^2≦1] と書くと ∫[-1≦r≦1] みたいだから、 ∫[0≦r≦1] と書くべきだった。 0≦r は、変数変換の時点で制約しておかねばならない。 乱筆陳謝。
- 151A48
- ベストアンサー率48% (144/295)
♯２です。 すみません。質問の文にひきずられて，変数ｘ，ｙで解こうと，頭が固まってしまいましたが，♯３さんのようにすれば簡単ですね。 ちなみにr√(4r^2+1)の積分は(1/12)(4x^2+1)^(3/2)
- 151A48
- ベストアンサー率48% (144/295)
ｙについて０→√(1-x＾２) xについて０→１ の順でで積分して４倍しておけばよいみたいですが・・・。 やってみましたが解けませんでした。 問題が違っているというのことはないですよね。
- Tacosan
- ベストアンサー率23% (3656/15482)
範囲の求め方: 積分領域を図示する. この場合 (x と y に関して対称なので) どちらから積分しても同じ答えになります. 既に「今日の朝」は過ぎてるような気もするが.
関連するQ&A
- 二重積分の積分範囲がわかりません
∮∮D xy dxdy x=<y=<-x+2 ,0=<x=<1 での積分範囲がわからず困っています 外側はdyより 0→2だとおもうのですがdxは求めれません よろしくお願いします
- 締切済み
- 数学・算数
- 二重積分の解法
次の問題の解き方に悩んでいます。 ∫∫ (x^2 + y^2) dxdy （ただし、 x^2 + y^2 ≦ 1） この式を自分なりに下記のように解いてみました。 dyは-(1-x^2)^1/2 ～ (1-x^2)^1/2、dxは-1～1の積分範囲としました。 ∫ dx ∫ dy = ∫ 2(1-x^2)^1/2 dx = 2[ 1/2 ( x(1-x^2)^1/2 + arcsin x )] （ここでdxなので[ ]内の積分範囲-1～1） = π/2 - (-π/2) = π としてみました。しかし、問題集では答えがπ/2となっています（解法は載っていない）。 上の解法のどこ（積分範囲？）が誤っているのでしょうか？
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 二重積分
すいません。 先ほど質問した内容の発展の為、連続で質問となってしまいました。 下記の二重積分を解く問題です。 ∬1/(1+x^2)^2dxdy {D:y/2≦x≦1 0≦y≦2} を解くのには、 ∫[0→1]{∫[y/2→1]1/(1+x^2)^2dx}dy と考えると S(y)=∫[y/2→1]1/(1+x^2)^2dx =[y/2→1][(1/2)(tan^{-1} x +x/{1 +x^2})] V=∫[0→1]S(y)dy を計算すれば良いのでしょうか？ しかし、S(y)の答えがものすごいことになってしまい・・・。 申し訳ございませんが教えて下さい。 よろしくお願い致します。
- 締切済み
- 数学・算数
- 重積分
次の重積分について、問題を解いてください。 R>0として、領域D,D_+,D_- が D = {(x,y)|0≦x≦R,0≦y≦R} D_+ = {(x,y)|x^2+y^2≦2R^2,x≧0,y≧0} D_- = {(x,y)|x^2+y^2≦R^2,x≧0,y≧0} で 与えられるとき、以下の問いに答えよ。ただし、aは正の定数である。 (1) 2重積分∮∮D e^{-a(x^2+y^2)}dxdy,∮∮D_+ e^{-a(x^2+y^2)}dxdy,∮∮D_- e^{-a(x^2+y^2)}dxdyの大小関係を示しなさい。 (2) 2重積分 ,∮∮D_- e^{-a(x^2+y^2)}dxdyを計算しなさい。 (3) (2)の結果をR→∞としたときの極限値を求めよ。 (4) 定積分∮(0→∞) e^(-ax^2) dx = (1/2)√(π/a) を証明せよ。 途中式もお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 円と直線の交差する範囲(重積分)
重積分の範囲が、円の方程式と1次関数になっている場合の考え方をご教授願います。 ∬ y dxdy 積分範囲 x^2+ｙ＾2≦4 かつ y≧2-x x^2+ｙ＾2≦2^2 より、原点を中心とした半径2の円が考えられます。 極座標でx=rcosθ, y=rsinθとすれば、0≦ｒ≦2 , dxdy=r drdθ 又、ｙ=2-x のグラフは点(0,2)と点(2,0)で円周と接するので、 積分範囲は半径2の円の第一事象の部分 [0≦θ≦π/2かつ0≦ｒ≦2] から [0≦x≦2かつ0≦ｙ≦2-ｘ] を引いた範囲が積分範囲と考えて良いのでしょうか？ つまり、∫[0 2]dr∫[0 π/2] rsinθr dθ-∫[0 2]dx∫[0 2-x] y dy の式に累次積分できるんですかね？ お手数をお掛けいたしますが、ご指導願います。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 線積分の問題
線積分の問題がどうしても解けません。詳しい方いらっしゃいましたら、ご助言宜しくお願いします。 (1)∫c y^2 dx + x^2 dy C: x=cost y=sint (t: 0→π) そのまま代入して計算し、∫0→π -sint^3 + cost^3 dt という部分まで辿り着いたのですが、この先が計算できません。 やり方が違うのでしょうか。 (2)∫c (e^x + y)dx + (y^4 + x^3)dy (Cは単位円の周を時計の逆回りに１周したもの） グリーンの定理で重積分に帰着し、∬D 3x - 1 dxdy とまで来たのですが、cos sinを使って範囲設定するとよく分からなくなってしまいました。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 2重積分の問題教えてください！
Dを（）内の不等式で表される領域とするとき、次の2重積分の値を求めよ。（領域Dも図示せよ。） ∫∫[ ,D]sin(2x+y)dxdy (0≦x≦π/2, x≦y≦2x) 2重積分の問題なのですがなかなか答えにたどり着けずにいます。誰か教えていただけないでしょうか？ ∫∫[ ,D]sin(2x+y)dxdy =∫[π/2,0]{∫[2x,x]sin(2x+y)dy}dx ここからが進みません。宜しくお願いいたします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
