二重積分

質問

すいません。
先ほど質問した内容の発展の為、連続で質問となってしまいました。

下記の二重積分を解く問題です。
∬1/(1+x^2)^2dxdy {D:y/2≦x≦1 0≦y≦2}
を解くのには、
∫[0→1]{∫[y/2→1]1/(1+x^2)^2dx}dy
と考えると
S(y)=∫[y/2→1]1/(1+x^2)^2dx
=[y/2→1][(1/2)(tan^{-1} x +x/{1 +x^2})]
V=∫[0→1]S(y)dy
を計算すれば良いのでしょうか？
しかし、S(y)の答えがものすごいことになってしまい・・・。

申し訳ございませんが教えて下さい。
よろしくお願い致します。

回答No.2

mis_take

Ｄが，0≦ｘ≦１，0≦ｙ≦２ｘ と表せますから，．．．

お礼

回答ありがとうございます。
簡単にそうすれば計算も楽に解けますね。

回答No.1

sacra_sak

まぁ信じがたいですが，それしかないと思いますね．でも計算したところ結果は驚くほど簡単な数でした．
∫1/(1+x^2)^2 dx =(1/2)(tan^{-1} x +x/{1 +x^2}) +C ゆえ，
S(y) =(1/2)∫[y/2→1]{tan^{-1} x +x/{1 +x^2}} dx
　　　=(1/2)(tan^{-1} 1 +1/2 -tan^{-1} (y/2) +2y/{4 +y^2})
　　　=(1/2)(π/4 +1/2 -tan^{-1} (y/2) +2y/{4 +y^2})
よって V =∫[0→2] S(y) dy
=(1/2)∫[0→2](π/4 +1/2 -tan^{-1} (y/2) +2y/{4 +y^2}) dy
=(1/2)[(π/4 +1/2)y -y tan^{-1} (y/2) +ln{y^2/4 +1} -ln(4 +y^2)]_0^2
=(1/2){π/2 +1 -2tan^{-1} 1 +ln 2 -ln 8} -(1/2){0 -0 +ln 1 -ln 4}
=(1/2){π/2 +1 -π/2 +ln (2・4/8)}
=(1/2)・1 =1/2
となりました．なにぶん非常に煩雑なもので，計算ミスしている可能性も大きいため，そちらでも検算のほどよろしくお願いします．

なお計算途中に tan^{-1} (y/2) の積分が出ましたが，これは安全のため y/2 =u と置換して，あとはおなじみ ln x と同じ部分積分です．つまり 1 =(x)' です．
　∫tan^{-1} (y/2) dy
=2∫tan^{-1} u du
=2∫1・tan^{-1} u du
=2u tan^{-1} u -∫2u/{1 +u^2} du
=2u tan^{-1} u -ln(1 +u^2)
=y tan^{-1} (y/2) -ln(1 +y^2/4)

お礼

回答ありがとうございます。