重積分の問題です

質問

重積分の問題です∫2→4dx∫-x→xf(x.y)dyの積分順序を変更せよ∬(x^4+y^4)dxdy d=x≧0、y≧0、x+y≦1∫∫∫z^2dxdxdz d=x^2/a^2+y ^2/b^2+z^2/c^2≦1これらの3問がどうしても分かりませんどなたか教えて下さいこの質問を補足する

回答No.2

info22_ · ベストアンサー

∫[2→4]dx∫[-x→x] f(x.y)dy の積分順序を変更せよ
=∫[-4→-2] dy∫[-y→4] f(x,y)dx +∫[-2→2] dy∫[2→4] f(x,y)dx +∫[2→4] dy∫[y→4] f(x,y)dx

∬(x^4+y^4)dxdy, d={x≧0、y≧0、x+y≦1}
=∫[0→1] dx∫[0→1-x] (x^4+y^4)dy
=∫[0→1] dx[x^4 y +y^5/5][0→1-x]
=∫[0→1] [(1-x)x^4+(1/5)(1-x)^5]dx
=-∫[0→1] [x^5-x^4+(1/5)(x-1)^5]dx
=-[x^6/6-x^5/5+(x-1)^6/30][0→1]
=-(1/6-1/5-1/30)
=1/15

I=∫∫∫z^2dxdxdz, d={x^2/a^2+y ^2/b^2+z^2/c^2≦1,a>0,b>0,c>0}
=8∬ c√(1-x^2/a^2-y^2/b^2)dxdy, D={x^2/a^2+y^2/b^2≦1,0≦x,0≦y,a>0,b>0,c>0}
x=arcos(t),y=brsin(t)で置換積分
|J|=abr,√(1-x^2/a^2-y^2/b^2)dxdy=abr√(1-r^2)drdt
より
I=8abc∫[0→π/2]dt∫[0→1] r(1-r^2)^(1/2)dr
=8abc(π/2)[-(1/3)(1-r^2)^(3/2)][0→1]
=4abcπ/3

回答No.1

noname#170343

[2∨|y|,4]上xで積分し、[-4,4]上yで積分する。
[0,1-y]上xで積分し、[0,1]上yで積分する。
x^2/a^2+y^2/b≦1-z^2/c^2を満たす(x,y)からなる楕円の面積f(z)にz^2を掛けて[-|c|,|c|]上zで積分する。