重積分の領域について
∫(0→e)dx∫(0→logx) (1+y)/x dy を順序変更して累次積分せよ。
という重積分の問題なのですが、この積分領域がわからずに困っています。
単純に、D：{(x,y)｜0≦x≦e , 0≦y≦logx} と解釈して、この積分領域を図示すると結局、
Dは、D'：｛(x,y)｜1≦x≦e , 0≦y≦logx｝という領域と同じようになってしまい、与式の重積分のxの積分区間を0→eと書く意味がない(1→eとはじめから書いてあればいい)ので、この解釈は誤りな気がします。
そこで,0≦y≦logxの部分を
0<x≦1のとき logx≦y≦0 , 1≦x≦eのとき 0≦y≦logx という解釈をしてみて、
領域D1:｛(x,y)｜ 1≦x≦e,0≦y≦logx｝領域Dn:｛(x,y)｜1/n≦x≦1, logx≦y≦0｝という領域に分割してみて、順序変更するために
領域D1:｛(x,y)｜ e^y≦x≦e,0≦y≦1｝領域Dn:｛(x,y)｜1/n≦x≦e^y, log(1/n)≦y≦0｝
と書き直し、
(与式)=∫(0→1)dy∫(e^y→e) (1+y)/x dx
+ lim(n→∞) ∫(log(1/n)→0) dy∫(1/n→e^y) (1+y)/x dx
として解いてみたところ、第2項が発散してしまい収束値が求められませんでした。
この領域の解釈も間違いなのでしょうか?
今回のように積分領域が捉えづらい問題の場合、どのようにそれを判別すればよいのかをご指導いただけるとありがたいです。
式の表示がわかりにくく、大変お手数をおかけしますが、回答よろしくおねがい致します。
お礼
ごめんなさい、1/√(1-x^2)の積分はarcsinxになるのを失念していました！ なんとかうまくいきそうです、お手数おかけしました
補足
x=cosθと置くと、dx=-sinθdθ この時、θ=arccosxとなり、 x：0→√(1-y^2)の時に、θ：0→？ θ=arccos√(1-y^2)が求められません・・・ これが分かれば∫[0→1]{∫[0→？]-dx}dyとなり、簡単に解けるとは思うんですが。 方針としてはこれで合ってますか？