重積分の範囲

質問

重積分の範囲について教えていただきたいです

(1)D = {(x , y) | 0≦x-2y≦1 , 0≦x+3y≦1　のxとyの積分範囲

(2)D = {(x , y) | x^2+y^2≦x　のθの積分範囲

(1)と(2)について、解説していただきたいです。
申し訳ありませんがよろしくお願いします。

回答No.2

info22_ · ベストアンサー

#1です。

A#1の補足質問の回答

>（１）の領域で、例としまして∬(x+y)dxdyだと解はどうなりますか？
D={(x,y) | 0≦x-2y≦1 , 0≦x+3y≦1}
x-2y=X,x+3y=Yと置いて置換積分すると
D ⇒ D'={(X,Y)|0≦X≦1 , 0≦Y≦1}
x=(3X+2Y)/5, y=(Y-X)/5
ヤコビアン|J|=(3/5)(1/5)-(2/5)(-1/5)=1/5
(x+y)dxdy=(1/5)(2X+3Y)(1/5)dXdY
I=∬[D] (x+y)dxdy
=∬[D'] (1/25)(2X+3Y)dXdY
=(2/25)∬[D'] XdXdY + (3/25)∬[D'] YdXdY
=(2/25)∫[0,1] XdX∫[0,1] dY + (3/25)∫[0,1] dX∫[0,1] YdY
=(2/25){[X^2/2](x=1)}*{[Y}(y=1)} + (3/25){[X](x=1)}*{[Y^2/2}(y=1)}
=(2/25)(1/2)*1 + (3/25)*1*(1/2)
=1/10
となります。

>（２）でなぜθは０≦θ≦２πでなく、π/2となるのでしょうか。
極座標のr=f(θ)=cosθの描く曲線は
半径1/2,中心(1/2,0)の円ですが
-π/2≦θ＜π/2　又は　0≦θ＜π　…（★）
で円周を一周分描きます。
0≦θ＜2πでは２周分描いてしまいます。
本来の積分領域が{(x,y)|x^2+y^2≦x} つまり
半径1/2,中心(1/2,0)の円の内部ですから
極座標でも同じ円内（１つ分）でなくてはいけません。
0≦θ＜2πでは同じ積分領域をダブって２回積分することになるので
本来の積分の領域２回分計算してしまうことになります。
（★）のθの積分範囲はどちらでも良いですが、積分計算をする際、
被積分関数の対称性を使うと積分が簡単になることが多いので
積分領域は対称な範囲にとった方が便利なことが多いこと、および
積分領域の図から容易にθの積分範囲が直ぐ求まることから
　-π/2≦θ≦π/2
とするのが通例です。

お礼

詳細に回答していてだきありがとうございます！
参考になりました！

回答No.1

info22_

(1)
4点A(2/5,1/5),O(0,0),B(3/5,-1/5),C(1,0)を順に結んでできる並行四辺形の「周(辺、境界線)および内部」の領域が積分範囲。
図で並行四辺形AOBCをプロットしてDの領域（斜線で塗り潰す）
として示せば良い。
領域として示さないと逐次積分になおせません。

なお、
X=x-2y,Y=x+3y といった置換積分をすれば積分範囲は
D' = {(X,Y) | 0≦X≦1 , 0≦Y≦1} となります。
これなら逐次積分に直した後、積分を変数分離することが可能です。

(2)
半径R=1/2,中心(1/2,0)の円の内部及び円周が積分領域（斜線で塗り潰す）。

x=rcosθ,y=rsinθと極座標変換するとき
-π/2≦θ≦π/2
0≦r≦cosθ
rとθの両方を示さないと重積分を逐次積分に直せません。

補足

回答ありがとうございます！

（１）の領域で、例としまして∬(x+y)dxdyだと解はどうなりますか？

（２）でなぜθは０≦θ≦２πでなく、π/2となるのでしょうか。
物分りが悪くて申し訳ないです。