重積分について。

質問

重積分 解答を教えて下さい。

答えが無いので自分の回答が
正解かわかりません。どなたか回答お願いします。

1 ∬D xy dxdy (D={(x,y)∈R^2｜0≦x≦1,0≦y≦1})

2 ∬D (|x|+|y|)dydx (D={(x,y)∈R^2 |x|+|y|≦1})

3 ∬D (x^2+y^2)e^(x^2+y^2)^2 dydx (D={(x,y)∈R^2|x^2+y^2≦1})

4 ∬D xy/x^2+y^2 dydx (D={(x,y)∈R^2|y≧x,1≦x^2+y^2≦2})

1 普通に計算して1/4

2 4通りの場合分けをする→原点に対称なひし形ができる。
絶対値の場合分けがよくわからなかったのですが単純に４倍して答えは４

3 極座標変換して ヤコビアンr DはE; 0≦r≦1 , 0≦θ≦2πにうつる
θから積分して計算すると 2π*1/4(e^4-1) となり 答えは π/2*(e^4-1)

4 極座標変換して ヤコビアンr DはE; 1≦r≦√2, π/4≦θ≦5/4πにうつる
代入してrから積分して・・・とすると積分が0になってしまいました。
積分の範囲が間違えたのかな？と思いましたができませんでした。

文章ぐちゃぐちゃで読みにくいですが回答お願いします

回答No.3

info22_ · ベストアンサー

1
>普通に計算して1/4
合っています。

[計算]
I=∫[0,1] ydy∫[0,1] xdx
={∫[0,1] xdx}^2
={[x^2/2][0,1]}^2
=(1/2)^2=1/4

2
>原点に対称なひし形ができる。
正確には一辺√2の正方形で、原点の周りに45°回転した正方形です。

>絶対値の場合分けがよくわからなかったのですが単純に４倍して答えは４
間違い。
答えは 4/3

絶対値の外し方は以下の計算のように外します。

[計算]
I=∬D (|x|+|y|)dydx
=∬D |x|dydx+∬D |y|dydx
Dと被積分関数がy=xに対称なので第一項と第二項の積分は等しいから
I=∬D |x|dydx+∬D |x|dxdy
=2∬D |x|dydx
Dの対称性から
D'={(x,y)∈R^2| x+|y|≦1,x≧0} として
I=4∬D' xdydx
=4∫[0,1]xdx∫[x-1,1-x] dy
=8∫[0,1]x(1-x)dx
=8[x^2/2-x^3/3][0,1]
=8(1/2 -1/3)
=4/3

3
>ヤコビアンr DはE; 0≦r≦1 , 0≦θ≦2πにうつる
これは合ってます。

>θから積分して計算すると 2π*1/4(e^4-1) となり 答えは π/2*(e^4-1)
間違い。
答えは　π(e-1)/2

[計算]
x=rcos(t),y=rsin(t)と極座標に変数変換（θはtで置き換えています）
(x^2+y^2)e^((x^2+y^2)^2)dydx
=(r^2)*e^(r^4) rdrdt=(r^3)*e^(r^4) drdt
D　⇒ E={(r,t)|0≦r≦1 , 0≦θ≦2π}

I=∬E (r^3)e^(r^4) drdt
=∫[0,2π] dt∫[0,1](r^3)e^(r^4) dr
=2π[(1/4)e^(r^4)][0,1]
=(π/2)(e-1)
=π(e-1)/2

4
>極座標変換して ヤコビアンr DはE; 1≦r≦√2, π/4≦θ≦5/4πにうつる
代入してrから積分して・・・とすると積分が0になってしまいました。
合ってます。

[計算]
x=rcos(t),y=rsin(t)で極座標に変数変換（θはtで置き換えています）

xy/(x^2+y^2)dydx
=(r^2)sin(t)cos(t)/(r^2) rdrdt=(1/2)sin(2t)rdrdt
D ⇒ E={(r,t)|1≦r≦√2,0≦t≦5/4π}
より

I=∬E (1/2)sin(2t)rdrdt
=(1/2)∫[0,2π]sin(2t)dt∫[1,√2] rdr
sin(2t)の基本周期はπなので２周期の範囲についての積分は０になる。
I=(1/2)*0*∫[1,√2] rdr
=0

お礼

丁寧にありがとうございました

回答No.2

151A48

２．　x.>0, y>0 のところだけ計算すると
最初yについての積分は　∫[0→-x+1](x+y)dy=[xy+(1/2)y^2] 0→-x+1 =(1/2)(1-x^2)
xについて0→1で積分して　∫(1/2)(1-x^2)dx=(1/2) [x-(1/3)x^3] =1/3　になりませんか。

３．　∫[0→1] r^3・e^(r^4) dr = [(1/4)e^(r^4)] 0→1 =(1/4)(e-1) 　ですからeの上に指数４はつかないのでは？

回答No.1

rnakamra

1.2:OK

3,積分が
∬D (x^2+y^2)e^{(x^2+y^2)^2} dydx (D={(x,y)∈R^2|x^2+y^2≦1})
(eの指数部が(x^2+y^2)^2)であればこの積分からe^4は出てこないと思うのですがどうでしょう。
e^(1^4)=e ですからe^4は出てきません。

4.0でOK
領域をy=-xで分割してy>-xとy<-xの領域をそれぞれ見てみます。
y>-xの領域はy軸について対称になりますが、この領域において被積分関数はxについて奇関数となります。そのためその領域での積分は"0"になります。
同様にy<-xの領域はx軸について対称になり...、積分は"0"になります。