重積分です

質問

Ｄ：0≦x≦√2、0≦y≦√2で

∫∫[Ｄ]√(x^2+y^2)dxdy

積分領域Ｄが正方形なので、極座標変換ができません
うまい方法はありますか？

回答No.3

info22_ · ベストアンサー

No.1です。

ANo.1の回答中の最後の４行にミスがありましたので訂正します。

>部分分数分解して
>=((√2)/3)∫[0,1/√2] {1/(u+1) +1/(1-u) +1/(1-u)^2 +1/(u+1)^2} du
--------------------------以降４行削除---------------------------
=((√2)/3){√2/(1+√2) +√2/(√2-1) +2/(√2-1)^2 +2/(1+√2)^2 -4}
=((√2)/3)[4 +2{(√2-1)^2 +(1+√2)^2}-4]
=((√2)/3)*12
=4√2
----以下４行に訂正します。-------------------------------------------
=((√2)/3)[ln((u+1)/(1-u)))-1/(u-1)-1/(u+1)][0,1/√2]
=((√2)/3){ln((1+√2)/(√2-1)) -√2/((1/2)-1)}
=((√2)/3){2ln(1+√2) +2√2}
=((2√2)/3)ln(1+√2) +(4/3) ...(答え)

回答No.2

endlessriver

簡単表記のためＤ：0≦x≦a、0≦y≦a とします。
xとyを入れ替えても、被積分関数の値Aは同じなので、直線、y=xで

上下に分かれた三角形の面積は同じです。なので下側の積分の２倍
が解になります。x=aの直線を極座標で表すと、r・cosθ=aです。

A=2∫[0,π/4]∫[0,a/cosθ]r(dr・rdθ)
=2∫[0,π/4][r^3/3]{r=0,r=a/cosθ}(dθ)

=(2/3)a^3∫[0,π/4][dθ/(cosθ)^3]
したがって、B=∫dθ/(cosθ)^3　を求めればよい。

1/(cosθ)^3=[1/(cosθ)][1/(cosθ)^2]に部分積分を使い
B=∫[dθ/(cosθ)^3]=(1/cosθ)tanθ-∫[sinθ/(cosθ)^2]tanθdθ

=tanθ/cosθ-∫(1/cosθ)[1/(cosθ)^2-1]dθ
=tanθ/cosθ-B+∫(1/cosθ)dθ

したがって C=∫(1/cosθ)dθ を求めればよい。z=sinθとおくと
C=∫cosθdθ/(1-(sinθ)^2)=∫dz/(1-z^2)

=(1/2)log|1+z|/|1-z|=(1/2)log|1+sinθ|/|1-sinθ|
となり、求める積分が計算できる。

お礼

方針としてはNo.1の方と同じですが、変域の部分が理解しやすかったです。計算の結果は最初の方と違っていますか？

回答No.1

info22_

積分領域Ｄと被積分関数の対称性から
積分領域Ｄ：{0≦x≦√2、0≦y≦√2}
を半分の Ｅ：{0≦y≦x≦√2}
としてＥでの積分を２倍すればよいから
I=∫∫[Ｄ]√(x^2+y^2)dxdy
=2∫∫[Ｅ]√(x^2+y^2)dxdy
ここで極座標変換して
x=rcos(t),y=rsin(t)
Ｅ⇒Ｆ：{(r,t)|.0≦r≦√2/cos(t), 0≦t＜π/4}
√(x^2+y^2)dxdy=r^2 drdt
なので
I=2∫∫[Ｆ] r^2 drdt
=2∫[0,π/4] dt∫[0,√2/cos(t)] r^2 dr
=2∫[0,π/4] {[(1/3)r^3][0,√2/cos(t)]}dt
=(2/3)∫[0,π/4]{√2/cos(t)}^3 dt
=((4√2)/3)∫[0,π/4] cos(t)/(1-(sin(t))^2)^2 dt
sin(t)=u(0≦u＜1/√2)とおいて置換積分
cos(t)dt=du, cos(t)/(1-(sin(t))^2)^2 dt=1/(1-u^2)^2 du
なので
I=((4√2)/3)∫[0,1/√2] 1/(u^2-1)^2 du
部分分数分解して
=((√2)/3)∫[0,1/√2] {1/(u+1) +1/(1-u) +1/(1-u)^2 +1/(u+1)^2} du
=((√2)/3){√2/(1+√2) +√2/(√2-1) +2/(√2-1)^2 +2/(1+√2)^2 -4}
=((√2)/3)[4 +2{(√2-1)^2 +(1+√2)^2}-4]
=((√2)/3)*12
=4√2 ...(答え)

お礼

なるほど！領域を半分にして極座標変換するわけですか。
うまいこと考える人がいるもんですね－。凡人の私には
まったく思いつきませんでした。細かな計算までしてい
ただき、感謝感激です！ありがとうございました。