重積分について

質問

重積分について。。

途中まで解いてみたのですが
最後まで解けなくて困っております。
被積分関数を展開出来ないのが
原因だと思われます；； 回答お願いします。

ε>0とし、
limε→+0 ∬D x^2-y^2/x^4+y^4 dxdy

D={(x,y)∈R^2|ε^2≦x^2+y^2≦1}

極座標変換して
E:ε≦r≦1,0≦θ≦2πにうつし、・・・

x^4+y^4=(x^2+y^2)^2-2x^y^2
x^2-y^2=(x+y)(x-y) としていろいろ試しましたが
解けずでした＞＜ お願いします

回答No.7

rnakamra

積分するまでもない。

この被積分関数、xとyを入れ替えると符号が変わる。そして積分領域はy=xに関して線対称。
この積分はεの値にかかわらず"0"になります。

このことを計算で示すにはy=xについて対称になるように変数変換すること。
x=r*cos(θ+π/4),y=r*sin(θ+π/4)として　-π≦θ<π　での積分を行う。
θについて奇関数になるためθでの積分の段階で"0"になります。

回答No.6

Tacosan

#1 「分子分母はどこまでかをはっきりさせてください」に対してそう答えるということは, 被積分関数が
x^2 - (y^2/x^4) + y^4
ということでいいですか?

回答No.5

alice_44

あ、いかんいかん。
分子の真ん中がマイナスやん。
先の「なんたら」を F(θ) と置いて
F(θ+π/2) = -F(θ) だから、
θ = 0 ～ 2π で積分すれば
∫F(θ)dθ = 0.
与式 = lim[ε→+0](log 1/ε)・0 = 0.
いや、オソマツ。

回答No.4

Ae610

余計なお世話かも知れないが・・・、
ANo.3で、主値積分の意味で積分が(存在して・・・)0になることを言っておいた方がよいと思う。

回答No.3

info22_

ε>0, D={(x,y)∈R^2|ε^2≦x^2+y^2≦1}

I=lim(ε→+0) ∬[D] (x^2-y^2)/(x^4+y^4) dxdy

極座標変換 x=rcosθ, y=rsinθ　すると
D　⇒ E={(r,θ)∈R^2|0<ε≦r≦1,-π≦θ≦π}
(x^2-y^2)/(x^4+y^4) dxdy
=(1/r^2)((cosθ)^2-(sinθ)^2)/((cosθ)^4+(sinθ)^4) rdrdθ
=(dr/r)*cos(2θ)/{((cosθ)^2+(sinθ)^2)^2-2(cosθ)^2*(sinθ)^2} dθ
=(dr/r)*cos(2θ)/{1-(1/2)(sin(2θ))^2} dθ
=(dr/r)*2cos(2θ)/{2-(sin(2θ))^2} dθ
=(dr/r)*2cos(2θ)/{1+(cos(2θ))^2} dθ
cos(2θ)/{2-(sin(2θ))^2}=cos(2θ)/{1+(cos(2θ))^2}は周期πの偶関数
以上より

I=lim(ε→+0)∫[ε,1] (dr/r)*4{∫[0,π/2] cos(2θ)/{2+(cos(2θ))^2} dθ

ここで
I1=∫[0,π/2] cos(2θ)/{2+(cos(2θ))^2} dθ
とおく。
t=2θ-π/2 で変数変換すると
cos(2θ)=cos(t+π/2)=-sin(t)、dt=2dθより

I1=∫[-π/2,π/2] -sin(t)/{2+(sin(t))^2} dt/2

これは奇関数の対称区間の積分なので
　I1=0

従って

I=lim(ε→+0)∫[ε,1] (dr/r)*0
=lim(ε→+0) (-logε)*0
=lim(ε→+0) 0
=0

回答No.2

alice_44

ばっと見にも、発散するんちゃうの？
極座標変換すると、
与式 = (∫[r=ε～1]dr/r)(∫[θ=0～2π]なんたらdθ)
となる。
dr の積分は、log(1/ε) だから、ε→+0 のとき +∞ 発散。
dθ の積分は、被積分関数が ≧0 だから、0 にはならない。
よって、与式→+∞.

回答No.1

spring135

積分の中の分子分母はどこまでかをはっきりさせてください。

補足

（x^2-y^2/x^4+y^4）