重積分について 困っております

質問

重積分について。

次の問題の答え,解き方を教えてもらえませんか。

1 ∬D(x+y)^2sin(π｜x-y｜)dxdy, D={(x,y)∈R^2;｜x+y｜≦1,｜x-y｜≦1

1について。
おそらくx+y=u, x-y=v とでもおき、
変数変換をして解くのだと思ったのですが
被積分関数の絶対値が気になり
未だに解けません；；
被積分関数に絶対値が存在した場合
どうすれば良いか。
場合分けが必要かな？と考えましたが自分の力では解けませんでした。
力を貸して頂けたら幸いです。

あともう一問 質問させて下さい。

２ ∬D log(1+x^2+y^2)dxdy, D={(x,y)∈R^2; x+y≧0, x^2+y^2≦1}

こちらの問題はパっと見た時に広義積分かな？と思いました。
特異点を探そうとしましたが x^2+y^2=-1 を満たす実数が無いので特異点はなし。。。
極座標変換をして x=rcosθ y=rsinθとおいてみましたが
特異点がないのに広義積分？？となってしまい、
頭がパニックになってしまいました。
特異点が見つかればそこに制限をつけて最後に極限で飛ばせば解ける。。と理解していたもので・・・

文章が拙なくて申し訳ございません。
どなたか回答お願いします

回答No.2

info22_

１
x+y=u, y-x=vとおくと x=(u-v)/2, y=(u+v)/2
dxdy=|J|dudv=(1/2)dudv
D={(x,y)∈R^2|｜x+y｜≦1,｜x-y｜≦1}
⇒{(u,v)∈R^2|｜u｜≦1,｜v｜≦1}

I=∬D(x+y)^2sin(π｜x-y｜)dxdy
=∬D u^2sin(π｜v｜)(1/2)dudv
=2∫[0,1]u^2du*2(1/2)∫[0,1]sin(πv)dv
=2{[u^3/3][0,1]}*{[-cos(πv)/π][0,1]}
=(2/3)*(1/π){1-(-1)}
=4/(3π)

２
x=rcos(s),y=rsin(s)とおくと
dxdy=|J|drds=rdrds
log(1+x^2+y^2)=log(1+r^2)
D={(x,y)∈R^2| x+y≧0, x^2+y^2≦1}
⇒ {(r,s)∈R^2| sin(s)+cos(s)≧0, 0≦r≦1}
⇒ {(r,s)∈R^2| sin(s+π/4)≧0, 0≦r≦1}
⇒ {(r,s)∈R^2| -π/4≦s≦3π/4, 0≦r≦1}

I=∬D log(1+x^2+y^2)dxdy
=∬D log(1+r^2) rdrds
=∫[-π/4,3π/4] ds∫[0,1] rlog(1+r^2)dr
=π∫[0,1] rlog(1+r^2)dr
部分積分して
=π[(1/2){(1+r^2)log(1+r^2)-(1+r^2)}][0,1]
=(π/2)(2log2-1)
=πlog2 -(π/2)

お礼

わかりやすかったです。

ありがとうございます＾＾

回答No.1

Tacosan

1. やることはそれだけ. 場合分けして絶対値をはずしてください.
2. 外れ. 極座標に変換すれば, あとは「ふつ～に積分する」だけ.

お礼

ありがとうございます♪