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重積分の変数変換がわかりません
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「u=x+y,v=y」の置換後、D→E:{(u,v)|u^2+v^2≦1},dxdy=dudv 更に「u=r cosθ,y=r sinθ」の置換後 E→F:{(r,t)|0≦r≦1,-π≦θ≦π},dudv=rdrdθ となり 積分は ∬_F (r^5)(cosθ)^4 drdt ={∫[r:0,1] (r^5)dr}*{2∫[t:0,π] (cosθ)^4 dθ} と書き換えることができます。
その他の回答 (4)
- koko_u_
- ベストアンサー率18% (459/2509)
>>どうしてそんなコトがわかるの？補足にどうぞ。 > 説明不足ですいません。問題に変数変換を用いて解くよう指定がありました 普通に積分計算ができるまで、そんな指定は無視しておけばよい。 >>そして普通に計算してみたのかも補足にどうぞ > 積分区間がよくわからずできませんでした… 積分範囲は自分で D:{(x,y)|x^2+2xy+2y^2≦1} と書いとるじゃろ？ とにかくまずは y を固定だ。すると x の積分範囲は x^2 + 2xy + 2y^2 <= 1 を x について解いた (x+y)^2 <= 1-y^2 つまり -√(1-y^2) - y <= x <= √(1-y^2) - y だ。 これが「x の積分範囲として意味がある場合」を考える。 当然√の中身がゼロ以上でなくてはいかん。 1-y^2 >= 0 逆に√の中身がゼロ以上であれば x の積分範囲は有効だ。 与式 = ∫_{y | 1-y^2 >= 0} ∫_{ x | -√(1-y^2) - y <= x <= √(1-y^2) - y } (x+y)^4 dxdy = ∫_{y | 1-y^2 >= 0} { 2(√(1-y^2))^5/5 }dy んで結局 y = sin θなどと置いてみるわけさ。立派に置換積分じゃ。
お礼
yを固定して範囲を考える… 基本的な考え方だったと思うんですが 自分にはまだ定着していませんでした。 これを参考に自分でも手を動かしてやってみます。 ありがとうございました！
- info22
- ベストアンサー率55% (2225/4034)
#3です。 積分変数の転記ミスの訂正です。 ＞積分は ＞∬_F (r^5)(cosθ)^4 drdt ∬_F (r^5)(cosθ)^4 drdθ として下さい。
- ikkuk
- ベストアンサー率44% (4/9)
Ｄの範囲を(x+y)^2＋y^2≦１と変形すると、x+y=u, y=v とおきたくなりますよね？ あとは頑張ってみてください。
- koko_u_
- ベストアンサー率18% (459/2509)
>適当な変数変換をして積分する問題なんですが、 どうしてそんなコトがわかるの？補足にどうぞ。 そして普通に計算してみたのかも補足にどうぞ。
補足
>どうしてそんなコトがわかるの？補足にどうぞ。 説明不足ですいません。問題に変数変換を用いて解くよう指定がありました >そして普通に計算してみたのかも補足にどうぞ 積分区間がよくわからずできませんでした…
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なるほどっ！ ２重に置換するんですか～ 確かにこうするときれいに解けるますね。 ありがとうございました！