重積分の変数変換がわかりません

質問

今、重積分の勉強をしていて
∬(x+y)^4dxdy D:{(x,y)|x^2+2xy+2y^2≦1}
の問題で行き詰まりました。
適当な変数変換をして積分する問題なんですが、
どんな数で変数変換すればいいかわかりません。
わかる方、教えてください！

回答No.3

info22 · ベストアンサー

「u=x+y,v=y」の置換後、D→E:{(u,v)|u^2+v^2≦1},dxdy=dudv
更に「u=r cosθ,y=r sinθ」の置換後
E→F:{(r,t)|0≦r≦1,-π≦θ≦π},dudv=rdrdθ
となり
積分は
∬_F (r^5)(cosθ)^4 drdt
={∫[r:0,1] (r^5)dr}*{2∫[t:0,π] (cosθ)^4 dθ}
と書き換えることができます。

お礼

なるほどっ！
２重に置換するんですか～
確かにこうするときれいに解けるますね。
ありがとうございました！

回答No.5

koko_u_

>>どうしてそんなコトがわかるの？補足にどうぞ。
> 説明不足ですいません。問題に変数変換を用いて解くよう指定がありました
普通に積分計算ができるまで、そんな指定は無視しておけばよい。

>>そして普通に計算してみたのかも補足にどうぞ
> 積分区間がよくわからずできませんでした…

積分範囲は自分で D:{(x,y)|x^2+2xy+2y^2≦1} と書いとるじゃろ？
とにかくまずは y を固定だ。すると x の積分範囲は x^2 + 2xy + 2y^2 <= 1 を x について解いた

(x+y)^2 <= 1-y^2 つまり -√(1-y^2) - y <= x <= √(1-y^2) - y だ。

これが「x の積分範囲として意味がある場合」を考える。

当然√の中身がゼロ以上でなくてはいかん。 1-y^2 >= 0
逆に√の中身がゼロ以上であれば x の積分範囲は有効だ。

与式 = ∫_{y | 1-y^2 >= 0} ∫_{ x | -√(1-y^2) - y <= x <= √(1-y^2) - y } (x+y)^4 dxdy

　　　 = ∫_{y | 1-y^2 >= 0} { 2(√(1-y^2))^5/5 }dy

んで結局 y = sin θなどと置いてみるわけさ。立派に置換積分じゃ。

お礼

yを固定して範囲を考える…
基本的な考え方だったと思うんですが
自分にはまだ定着していませんでした。
これを参考に自分でも手を動かしてやってみます。
ありがとうございました！

回答No.4

info22

#3です。
積分変数の転記ミスの訂正です。
＞積分は
＞∬_F (r^5)(cosθ)^4 drdt
∬_F (r^5)(cosθ)^4 drdθ

として下さい。

回答No.2

ikkuk

Ｄの範囲を(x+y)^2＋y^2≦１と変形すると、x+y=u, y=v とおきたくなりますよね？
あとは頑張ってみてください。

回答No.1

koko_u_

>適当な変数変換をして積分する問題なんですが、
どうしてそんなコトがわかるの？補足にどうぞ。

そして普通に計算してみたのかも補足にどうぞ。

補足

>どうしてそんなコトがわかるの？補足にどうぞ。
説明不足ですいません。問題に変数変換を用いて解くよう指定がありました

>そして普通に計算してみたのかも補足にどうぞ
積分区間がよくわからずできませんでした…