重積分で変数変換（ヤコビ）をするのと、しないのとの違い

質問

初めて質問させていただきます。
重積分の問題について、分からないところがあるので回答をお願いします。

次のような変数変換について
x=u*u-v*v　 y=2uv
Ｄ{(x,y)|x*x+y*y=<1} が E{(u,v)|u*u+v*v=<1}に移る。

(1).ヤコビアンを求めて積分する
(2).変換しないでそのまま積分する
(3).(1)と(2)の結果は、なぜそれぞれ違うか

両方のやり方で積分してみて、ヤコビアンの方はできたのですが
そのままの方は上手く答えが出ず、
なぜ結果が違うのかわかりません。

よろしくお願いします。

回答No.3

connykelly · ベストアンサー

変数変換すると元の変数系での面積の形状と変換後の変数での面積の形状は異なってきますね。それをそれぞれ素直に積分すると当然得られる値は異なってきます。この不具合を解消するのがヤコビアンというものです。詳しいことはココ↓をご覧になってください。
http://www.10days.org/trans_vars.pdf

参考URL：

http://www.10days.org/trans_vars.pdf

お礼

違った答えが得られるのは、面積の形状が違うからなんですね。
わかりました！丁寧なご回答どうもありがとうございました。

回答No.2

info22

>(3).(1)と(2)の結果は、なぜそれぞれ違うか
>両方のやり方で積分してみて、ヤコビアンの方はできたのですが
両方のやってみた積分の計算が書いてないので回答のしようがありませんね。
単なるあなたの計算間違いかも知れませんが、確認できません。

お礼

解答した結果が手元になく、記載できずすみませんでした。
ちゃんとした答えが出ないのが問題ではなく、なぜ異なるかの理由が知りたかったので投稿させていただきました。
もう一度、みなさんの意見を参考に計算し直してみます。
回答ありがとうございました。

回答No.1

Tacosan

一番先に疑うのは「単なる計算間違い」だなぁ.
「どんな積分をどう計算してその結果どういう値が得られたのか」があれば, それから推論することもできるけど.

お礼

回答ありがとうございます。
解答した結果が手元になく、記載できませんでした。
もう一度、よく計算し直してみます。