• ベストアンサー

重積分の問題が解けません

次の重積分の問題がどうしても解けません。 次の図形の体積を求めよ x^(2/3)+y^(2/3)+z^(2/3)≦a^(2/3) (a:定数,a > 0) 私は次のようにして解こうとしました。 まず x=u^3,y-v^3,z=w^3,a=b^3 と置きました。 0≦w≦√(b^2-u^2-v^2) ヤコビアンを求め、 dxdydz=27・u^2v^2w^2・dudvdw とし、計算を進め、さらにもう一度変数変換を行いました。 u=rcosθ,v=rsinθ(極座標表示) 同様にヤコビアンを求め計算を進めました。 この方法では正しい解答に行き着きませんでした。 ちなみに答えは(4πa^3)/35となっています。 どなたかご教授ください。 お願い致します。

質問者が選んだベストアンサー

  • ベストアンサー
  • info22
  • ベストアンサー率55% (2225/4034)
回答No.4

#2です。 A#2の補足質問の回答 > 結果は次の通りとなりましたが、問題ないでしょうか。 > V=8(a^3)∫[y:0→1](π/32){3-3y^2+9y^(4/3)-9y^(2/3)}dy > =(9/8)∫[r:0→1]dr∫[θ:0→π/2](1-r^2)^(3/2)r^5(1-cos4θ)dθ =8(a^3)(9/8)∫[r:0→1]dr∫[θ:0→π/2](1-r^2)^(3/2)r^5(1-cos4θ)dθ > =(9π/16)∫[r:0→1](1-r^2)^(3/2)r^5dr =8(a^3)(9/8)∫[r:0→1]dr∫[θ:0→π/2](1-r^2)^(3/2)r^5(1-cos4θ)dθ =4π(a^3)/35 となります。 式の変形の2行目と3行目の前に1行目にある「8(a^3)」が抜けている他は 合っています。結果も正しい結果と合いますね。

kirishima8
質問者

お礼

確認ありがとうございました。 引き続き計算を進めたいと思います。

その他の回答 (3)

  • saus
  • ベストアンサー率50% (5/10)
回答No.3

u=rcosθ,v=rsinθ(極座標表示) ？？？ 極座標表示： u=rcosθcosφ; v=rcosθsinφ; w=rsinθ; det(u,v,w)=rsinθ; c=cosθ; ∫∫∫dxdydz=∫∫∫27*(uvw)^2dudvdw=∫∫∫27*r^3*(sinθ)^5(cosθ)^2(cosφ)^2(sinφ)^2 drdθdφ=27*(1/9)r^9*∫-(c^2-2c^4+c^6)|dθ*B(3/2,3/2)*1/2*4 =3*a^3*16/105*Γ(3/2)Γ(3/2)/Γ(3)*2 =3*a^3*16/105*π/4 =(4πa^3)/35; ですか。B(3/2,3/2)はβ関数 Γ(3/2)はΓ関数。」

kirishima8
質問者

お礼

ご回答ありがとうございました。 ベータ関数とガンマ関数を利用することもできるんですね。 あまり馴染みがないので気がつきませんでした。 さっそく試してみたいと思います。

  • info22
  • ベストアンサー率55% (2225/4034)
回答No.2

直接積分すると 立体の対称性からx≧0,y≧0,z≧0の部分の体積を8倍すればよい。また立体の体積はa^3に比例するからa=1とした場合の体積のa^3倍すればよい。 このことから体積Vは以下のように書けます。 V=8(a^3)∫[y:0→1](∫[x:0→{1-y^(2/3)}^(3/2)] {1-x^(2/3)-y^(2/3)}^(3/2) dx)dy =途中の式は複雑ですので省略 （適当な変数変換をした方が簡単かと思います。） =8(a^3)∫[y:0→1](π/32){3-3y^2+9y^(4/3)-9y^(2/3)}dy =4π(a^3)/35 > この方法では正しい解答に行き着きませんでした。 途中の計算を書いて質問してください。 どこがおかしいか分かりません。 > x=u^3,y-v^3,z=w^3,a=b^3 > と置きました。 と置くのではなく、 上記のVの積分で x=u^3,y=v^3→u=rcos(t),v=rsin(t)の積分変換を行うのも 良いでしょうね。 ヤコビアン、積分範囲に注意して積分してください。 いきなり x=(rcos(t))^3,y=(rsin(t)^3 の変数変換も良いかと思います。

kirishima8
質問者

お礼

回答ありがとうございました。 さっそく上記Vの計算をしてみました。 >x=(rcos(t))^3,y=(rsin(t)^3 >の変数変換も良いかと思います。 採用させてもらいました。 結果は次の通りとなりましたが、問題ないでしょうか。 V=8(a^3)∫[y:0→1](π/32){3-3y^2+9y^(4/3)-9y^(2/3)}dy =(9/8)∫[r:0→1]dr∫[θ:0→π/2](1-r^2)^(3/2)r^5(1-cos4θ)dθ =(9π/16)∫[r:0→1](1-r^2)^(3/2)r^5dr

  • yasuhiga
  • ベストアンサー率27% (168/620)
回答No.1

正しいと思います。 ただ、ｗの行方がわかりません（極座標）。キーですね。 回答に行きつくことを祈念いたします。

  1. カテゴリ
  2. 学問・教育
  3. 数学・算数

関連するQ&A

  • 重積分の変数変換

    ∫∫∫(1-x-y-z) dxdydz　(0≦x≦y、z≧0、x+y+z≦1) この問題で、直交座標を下のように斜行変換して、 u=x+y+z v=y+z/x+y+z w=z/y+z 以下のように式変換します。 x=u(1-v) y=uv(1-w) z=uvw よりヤコビアンを求めて ∫∫∫(1-u)vu^2 dudvdw このときに、u,v,wの値の範囲は、 0≦u≦1 0≦v≦1 0≦w≦1 でいいのでしょうか？ 考え方がよくわかりません・・・。 教えてください。

  • 重積分・積分について

    重積分・積分の問題です。 1 ∫[0,2π]cosmxcosnxdx (m,n∈Z) まず和積公式を使って cosmxcosnx=1/2{cos(m+n)x+cos(m-n)x}とし、 0→2πで積分して 1/2[1/m+n*sin(m+n)x+1/m-n*sin(m-n)x][0→2π] ここまでは解けるのですがここから解くことが出来ませんでした。 積分区間が０のときはsin０=0ですので考えないとしたんですが、 2πの時にするであろう場合分けが思いつきません。 ここから回答をお願い出来ないでしょうか。 また自分の回答に自信があまり無いので 以下の問題の答えを教えていただけないでしょうか。 2 d/dx(arcsinx)^2 =2arcsinx/(√1-x^2) 3 ∫∫∫D dxdydz/{√1-(x^2+y^2+z^2)} (D={(x,y,z)∈R^3|x^2+y^2+z^2≦1}) 被積分関数は1/{√1-(x^2+y^2+z^2)}より x^2+y^2+z^2=1上の点が特異点の広義積分である。 ここでDa:x^2+y^2+z^2≦a^2とおく。ただしa>0とする。 極座標(r,θ,ψ)を定める。 x=rsinθcosψ y=rsinθsinψ z=rcosθ とおくと Daは Ea:0≦r≦a, 0≦θ≦π,0≦ψ≦2πにうつる。 またヤコビアンはr^2sinθである。 計算は省略します。 積分すると4πa^5/5となり、 lim [a→1-0]として 答えは4π/5 でしょうか。 文章読みにくくてごめんなさい。 回答お願いします

  • 重積分の問題なのですが

    ∫∫∫[D] (x^2+y^2+z^2)dxdydz. D:x^2+y^≦2azとx^2+y^2+z^2≦3a^2 と言う重積分の問題なのですが、まずやはりaの正負を場合わけするべきでしょうか、次にこの範囲は球とｚ方向に三次元に広がる放物線に挟まれた領域と考えて重積分すれば解けますか？m(_ _)m アドバイスお願いします(>_<)

  • 重積分の計算

    次の三重積分を計算せよ。 (1)∫V x dxdydz　V={(x,y,z)|z^2+y^2+z^2≦1、x^2+y^2≦z^2、z>0} (2)∫V xyzdxdydz/√(a^2x^2+b^2y^2+c^2z^2) V={(x,y,z)|x^2+y^2+z^2≦1、0≦x,y,z}　ただしa>b>c>0 両方とも極座標変換を試みたのですが上手くいきませんでした。 どのような変換をすれば累次積分に帰着出来るのでしょうか？ ちなみに答えは(1)がπ/8、(2)が(ab+bc+ca)/15(a+b)(b+c)(c+a)でした。

  • 重積分で変数変換（ヤコビ）をするのと、しないのとの違い

    初めて質問させていただきます。 重積分の問題について、分からないところがあるので回答をお願いします。 次のような変数変換について x=u*u-v*v　 y=2uv Ｄ{(x,y)|x*x+y*y=<1} が E{(u,v)|u*u+v*v=<1}に移る。 (1).ヤコビアンを求めて積分する (2).変換しないでそのまま積分する (3).(1)と(2)の結果は、なぜそれぞれ違うか 両方のやり方で積分してみて、ヤコビアンの方はできたのですが そのままの方は上手く答えが出ず、 なぜ結果が違うのかわかりません。 よろしくお願いします。

  • 重積分の変数変換問題

    重積分について勉強していたら ∬x^2dxdy D:{(x,y)|x^2/a^2+y^2/b^2≦1}を 適当な変数変換を用いて解け …という問題でつまってしまいました。 僕はx/a=u,y/b=vと変数変換して 与式=∬a^3bu^2dudv E:{(u,v)|u^2+v^2≦1} として重積分して 　　=∫[v:-1→1]dv∫[u:-√1-v^2→:√1-v^2]a^3bu^2du =a^3b∫[v:-1→1][u^3/3][u:-√1-v^2→:√1-v^2]dv =2a^3b/3∫[v:-1→1](1-v^2)^3/2dv と求めましたが、これ以降が行き詰ってしましました。 これ以降の計算方法がわかる方、またはまったく異なる計算方法をご存知の方は教えてください！

  • 重積分の計算について

    以下の重積分の解き方がわからず、困っています。 x=rcosθ,y=rsinθを使えばいいのかなとは思ったのですが、 具体的にどう処理すればいいのかわかりません。 申し訳ありませんが、考え方だけでもご指導お願いできますでしょうか。 【問題】 次の計算をせよ。すなわち、2重積分または類次積分の値を求めよ。 D={(x,y) | 0≦x, 0≦y, x^2+y^2≦1} ∫∫D (y) dxdy 以上、ご指導のほど、よろしくお願いします。

  • 広義積分教えてください

    次の問題説いてください (1) 空間上の(x,y,z)を極座標（ｒ,θ,φ) x=rsinθcosφ , y=sinθsinφ , z=rcosθ に変換するときヤコビアンを求めよ (2) 広義積分 I(a)=∫∫∫(exp-(x^2+y^2+z^2))/((x^2+y^2+z^2)^a) dxdydz 積分範囲はすべて－∞～＋∞ についてa=1/2の時のI(1/2)を求めよ (3) I(a)が収束するaの範囲を求めよ (4) 広義積分 J(a,b)=∫∫∫1/((x^2+y^2+z^2)^a)*(|log(x^2+y^2+z^2)|^b) dxdydz が収束するようなa,bの満たすべき条件を求めよ 積分範囲B B={(x,y,z);x^2+y^2+z^2<1/4} (1)のヤコビアンは 行列式 ∂(x,y,z)/∂(u,v,w) を解いて（r^2）sinθ というところまではとけるのですがその後がわかりません よろしくお願いします

  • 重積分の問題なのですが・・・。

    重積分の問題なのですが・・・。 ∬(y-6)(x^2+y^2)^(1/2)dxdy 積分区間はx^2+y^2<=4です。 x=rcosθ, y=rsinθとおいて、積分区間の条件より 0<=r<=2, 0<=θ<=2πとおける さらにこのときdxdy=rdrdθとなる 与式=∫[o<-2π]∫[0<-2]{rsinθ-6)(r^2cos^2θ+r^2sin^2θ)^(1/2)}rdrdθ 　　=∬{(rsinθ-6)r^2}drdθ 　　=∫[1/4sinθr^4-2r^3](0<-2)dθ 　　=∫(4sinθ-16)dθ 　　=[-4cosθ-16θ](0<-2π) 　　=(-4-32π)-(-4) 　　=-32π とマイナスになってしまいました、どこが間違えているのでしょうか？ すみませんがよろしくお願いします。

  • 重積分の問題

    (１)∫∫∫_v　ｄｘｄｙｄｚ　（V＝｛（ｘ，y，z）｜　x^2/a^2+y^2/b^2+z^2/c^2≦１｝） (２)sin(x+y+z)の三重積分で領域Vは、V={(x，y，z)｜０≦x，y，z≦π} (３)平面ｚ＝０上に面積確定の有開閉領域Dがあり、その面積をSとする。点Q＝（ａ，ｂ，ｈ）（ｈ＞０）をとり、ＰをＤの点として動かすとき、線分ＱＰ上の点全体の集合を、Ｄを底面、Ｑを頂点とする錐体と呼ぶ。この錐体の体積はＳｈ／３であることを示せ。 上の三問なんですが、(１）は、ｘを固定して、領域Ｄとして、Ｄ＝｛（ｙ、ｚ）｜y^2/b^2+z^2/c^2≦１－x^2/a^2｝として解こうとするのですがこれからどうすればわかりません。 (２)は答えは８なのですが、自分は－８になります。 (３)はさっぱりわかりません。 どうかよろしくお願いします。

注目のQ&A

カテゴリ

専門家に質問してみよう

職業から探して質問する

あなたにピッタリな商品が見つかる！ OKWAVEセレクト

質問する