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自然対数の重積分について質問があります
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>x+y=u, x-y=vと変数変換をする >新たな積分範囲D'をD'={(u,v)|1≦u≦3, -2≦v≦0}とする 領域D'が間違っています。 x+y=u, x-y=vをx,yについて解くと x=(u+v)/2,y=(u-v)/2 となります。 D'の領域は D'={(u,v)|0≦(u+v)/2≦1,1≦(u-v)/2≦2} となります。 D'を実際に(u,v)平面に書いてみましょう。D'の領域を2分割するとうまく計算できるようになるでしょう。
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- alice_44
- ベストアンサー率44% (2109/4759)
A No.1 の言う通りだ。 D' を uv 平面に図示して、 u と 2 の大小で場合分けしよう。そうすると、 v の範囲が、絶対値を含まない u の式で 表せるようになる。後は簡単。
お礼
ありがとうございます u=2を境にした定積分が求まりました これからもよろしくお願いします
- info22_
- ベストアンサー率67% (2650/3922)
>新たな積分範囲D'をD'={(u,v)|1≦u≦3, -2≦v≦0}とする これは間違い。 D'={(u,v)|0≦u+v≦2, 2≦u-v≦4} >ヤコビアンの絶対値を求めれば1/2 これは合ってる。 >I = 1/2・∬(D')ln(u)dudv >= 3ln(3)-2 間違い。 I=(1/2){∫[1,2]du∫[-u,u-2]ln(u)dv+∫[2,3]du∫[u-4,2-u]ln(u)dv} =(1/2){∫[1,2](2u-2)ln(u)du+∫[2,3](6-2u)ln(u)du} 後は部分積分するだけです。 計算すれば I=(9/2)ln(3)-4ln(2)-(3/2) となるかと思います。
お礼
ありがとうございます 確かに，領域をu=2を境に分ければ定積分ができますね これからもよろしくお願いします
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