積分値の問題でのヤコビアンの計算についての疑問
- 質問者は、積分値の問題について疑問を持っています。
- 質問者は、ヤコビアンを計算する方法について疑問を持っています。
- 具体的には、ヤコビアンの計算方法によって答えの符号が異なることについての疑問があります。
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積分値の問題で質問です。
積分値の問題で質問です。 ∬xdxdy D:0≦x－y≦1, 0≦x+y≦1 この問題を x-y=u,x+y=v と変換し、 x＝(u+v)/2 y=-(u-v)/2 0≦u≦1, 0≦v≦1 J=|xu xv|=| 1/2 1/2|=1/2 |yu yv| |-1/2 1/2| ∬xdxdy=∬(u+v)/2・|J|dudv＝1/4∬(u+v)dudv と問題集で説いているのですが もし下のようにヤコビアンを計算したら J=|xv xu|=|1/2 1/2|=-1/2 |yv yu| |1/2 -1/2| となり ∬xdxdy=∬(u+v)/2・|J|dudv＝-1/4∬(u+v)dudv と計算が変わり求まる答えも符号が変ってしまうのですが、 何が間違っているでしょうか？ ご指導お願いします。
- tattatatta
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質問者が選んだベストアンサー
ヤコビ行列 Jacobien matrix てのと ヤコビ行列式 Jacobien determinant てのがあって、 ヤコビアン Jacobien と略すのは determinant のほうです。 (ヤコビアンは、ヤコビ行列の行列式です。) ヤコビアン J はスカラーなので、式中の |J| は絶対値を表します。 行列 A の行列式を |A| とも書きますから、 J が何を指すか知っていないと、ややこしいですね。
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- alice_44
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失礼、思い違いも甚だしい。 理系への数学 ２００６年１０月号 定価９００円 第３９巻１０号通巻４７８号 多変数の微積分／重積分の変数変換一松信 でした。
- alice_44
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重積分の変数変換でヤコビアンの絶対値が掛かる 公式は、誰でも知っているけれども、 きちんと証明しようとすると、細部の詰めが けっこう煩雑です。 教科書などでも、証明は省略して結果だけ かいてあるものが多い。 確か、月刊誌「数学セミナー」の2009年春ごろ (何月号だったか？)に、証明が載ってたと思います。 巻末近くの4～5ページの記事で。
- info22_
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#3です。 A#3の別解で積分の最終結果まで出しましたが、まだ問題集の解答まで書いて無かったですね。 一応積分すると|J|=1/2,D'={(u,v):0≦u≦1,0≦v≦1}として ∬xdxdy=(1/4)∬[D'](u+v)dudv=(1/4)∫[0,1] {∫[0,1](u+v)du}dv =(1/4)∫[0,1] {[(u^2/2+vu)] [u=0,1]}dv =(1/4)∫[0,1] (1/2+v)dv =(1/4)[v/2+v^2/2] [v=0,1] =(1/4)*1=1/4 となりますのでA#3のヤコビアンを使わない場合の積分結果と一致しますね。 おそらく問題集の解答の積分結果も「1/4」となっていませんか？
- info22_
- ベストアンサー率67% (2650/3922)
>問題集で説いているのですが J=1/2 >もし下のようにヤコビアンを計算したら たとえ、J=-1/2 でも 積分では絶対値を使うので |J|=1/2 (絶対値をとるので負にはならない) を使うので他の方もいわれている通り問題無いでしょう。 参考までに、変数変換しないで逐次積分すれば ∬[D]xdxdy=∫[0,1/2] 2x(∫[0,x] dy)dx+∫[1/2,1] 2x{∫[0,1-x] dy}dx =∫[0,1/2] 2x^2dx+∫[1/2,1] 2x(1-x)dx =(2/3)(1/2)^3+2[x^2/2-x^3/3] [1/2,1] =1/12+2(1/6-1/8+1/24) =1/4 と問題集の結果と一致します。
- OKXavier
- ベストアンサー率53% (135/254)
>∬xdxdy=∬(u+v)/2・|J|dudv＝1/4∬(u+v)dudv >と問題集で説いているのですが |J|とJに絶対値記号が付いています。何か勘違いをしていませんか？
お礼
ありがとうございます。即答でしたのですごく助かりました。
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お礼
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