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数学の解答解説お願いします。

過去問なのですが答えがなく困っています。 点(x,y)が直線3y+2x=1上の点を動く時、1/x+iy=u+ivから定まる点(u,v)の軌跡の長さを求めよ。ただしiは虚数単位でx,y,u,vはいずれも実数とする。 という問題です。 1/x+iy=u+ivを(vx+yu)i+xu-yv=1のように 変形してみたりしたのですが・・やり方の見当がつきません。 解答解説をしていただけると嬉しいです。よろしくお願いします。

質問者が選んだベストアンサー

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  • take_5
  • ベストアンサー率30% (149/488)
回答No.5

結局は同じ事になるが。。。。。。笑。 こっちの変形の方が分りやすいだろう。 1/(x+iy)=u+iv より x+iy=1/(u+iv)=(u-iv)/(u^2+v^2)。 従って、x=u/(u^2+v^2)。y=-v/(u^2+v^2)。但し、u=v=0は除く。 これを、3y+2x=1に代入すると、円:(u-1)^2+(v+3/2)^2=(√13/2)^2だから、この円の円周の長さを求めると良い。

smapeace
質問者

お礼

なるほど!このように変形するのですね。 2通りものやり方を教えていただきありがとうございます!

その他の回答 (4)

  • take_5
  • ベストアンサー率30% (149/488)
回答No.4

1/x+iy=u+ivから、u+iv=1/(x+iy)=(x-y*i)/(x^2+y^2)であるから、u=(x)/(x^2+y^2)‥‥(1)、v=(-y)/(x^2+y^2)‥‥(2)。 (1)と(2)を2乗して加えると、u^2+v^2=1/(x^2+y^2)‥‥(3)。 よつて(1)から(3)よりx=u/(u^2+v^2)、y=-v/(u^2+v^2)であるから、3y+2x=1に代入すると。。。。後の計算は自分でやってね。円になるだろうが。但し、u=v=0は除く。

  • koko_u_
  • ベストアンサー率18% (459/2509)
回答No.3

>式を変形するとこから間違っているのでしょうか?? 目的もなく変形しても何も得られません。(u, v) の軌跡を求めるにはどうすればよいか考えましょう。

  • NNori
  • ベストアンサー率22% (377/1669)
回答No.2

実数部と虚数部は直交してるので、 (u,v) = ( 1/x , y ) です。 また、y = ( 1 - 2x ) / 3 なので、求める軌跡は、 ( 1/x , ( 1 - 2x ) / 3 ) となります。 うーん、xの値域が決まってないといかんような気がしますが、なんか発散してませんか?

smapeace
質問者

補足

回答ありがとうございます! 問題文ですが()をつけ忘れていたので訂正します。 1/(x+iy)=u+iv です。すみません。またよろしくお願いします。

  • koko_u_
  • ベストアンサー率18% (459/2509)
回答No.1

>変形してみたりしたのですが・・やり方の見当がつきません。 そのような変形をした意図を補足にどうぞ。

smapeace
質問者

補足

すばやい返答ありがとうございます。 式をすっきりさせようと思い、虚数単位をまとめてみました。 そうするとxu-yv=1 vx+yu=0かなと思ったのですが・・ぜんぜん違うことしてるのかも?と不安になり質問させていただきました。 式を変形するとこから間違っているのでしょうか??

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