空間におけるガウスの発散定理について

質問

xyz空間の原点を中心とし、半径が１の球面をSとします。Sの単位法ベクトルNの方向は、いつもSの内部から外部に向かう―(1)ように選んでおきます。この時、ベクトル場は
V(X)＝
x+2y
3y+4z
5z+6x
のS上の面積分
∫[S]V・ｄS
の値を求めてください。という問題で他の回答者さまに以下のようにご回答いただきましたが、(1)～(3)がわかりません。

質問1(1)はなぜこのベクトルはSの内向きなのでしょうか？
質問２(2)から(3)の途中計算がわかりません。
質問３また(2)の最後はdudvとなっていますが、dxdydzをdudvに変換したのでしょうか？したならどのように変換したのでしょうか？
質問4単位法ベクトルN(u,v)の公式は
N(u,v)={1/||xu(u,v)×xv(u,v)||}・xu(u,v)×ｘv(u,v)とテキストに書かれていますが、なぜ(2)のような式の形なのでしょうか？何か別の公式があるのでしょうか？
途中計算を含めて詳しい解説を宜しくお願いします。

空間の場合のガウスの発散定理より
∫[S]VdS=∫[M]divv・dxdydzより
div=∂v1/∂x1+∂v2/∂y+∂v3/∂z(発散の定義)
　　=1+3+5
=9
(単位球面のパラメーター)
X(u,v)=
cosu・cosv
cosu・sinv
sinu

Xu(u,v)=
-sinu・cosv
-sinu・sinv
cosu

Xv(u,v)=
-cosu・sinv
cosu・cosv
0

よって外積Xu×Xv=
-cos^2u・cosv
cos^2u・sinv
-2sinu・cosu

このベクトルはSの内向きなので、N(u,v)=-(Xu×Xv)となる。－(1)

∫[S]VｄS＝－9∫[0→2π]∫[0→2π]
cosu・cosv
cosu・sinv
sinu
×
-cos^2u・cosv
cos^2u・sinv
-2sinu・cosu
dudv―(2)
=9∫[0→2π]∫[0→2π]2sin^2u・cosu・dudv―(3)
=18∫[0→2π]∫[0→2π]sin^2u・cosu・dudv
t=sinuとおくと、dt/du=cosuより、cosudu=dt
∫[0→2π]sin^2u・cosudu
=∫[0→1]t^2dt
=[t^3/3](0→1)
=1/3
ゆえに
18∫[0→2π]1/3dv
=∫[0→2π]6dv
=[6v](0→2π)
=12π(答)

回答No.1

stomachman

3次元(x,y,z)空間中で、実ベクトル場V(x,y,z) = (V1(x,y,z), V2(x,y,z), V3(x,y,z))と、或る領域Pについて、
　　J = ∫(Pの表面) V・ds
を計算したい。（ここで、右辺が、「領域Pの表面上の点に於ける、領域Pの表面の外向きの単位法線ベクトルと、Vとの内積」を領域Pの表面のすべての点に渡って積分しろ、という意味だということはお分かりですね。）
　そこでガウスの発散定理
　　J = ∫(P内) div(V) dv
を使う。この右辺は、div(V)を領域P内のすべての位置に渡って積分しろ、という意味だから、
　　J = ∫∫∫{(x,y,z)∈P} div(V) dx dy dz
と書いても同じこと。なお、div(V)ってのは位置(x,y,z)の関数であって、実数値をとる。

　では計算に掛かりましょう。ご質問で具体的に与えられたベクトル場Vの場合、div(V)は
　　div(V) = ∂V1/∂x+∂V2/∂y+∂V3/∂z = 9
だから、たまたま、位置に依らない定数である。これを代入すると、
　　J = ∫(P内) 9 dv = 9 (∫(P内) dv) = 9 (Pの体積)
です。ご質問の領域Pは単位球であり、その体積はご承知の通り 4π/3 である。ゆえに
　　J = 9(4π/3) = 12π
以上。

　三角関数に出番はありません。V・dsを計算しないで済ませるために、ガウスの発散定理を使ったんですからね。

補足

質問1(1)問題でSの単位法ベクトルNの方向は、いつもSの内部から外部に向かうように選んでおくと書かれているのに、なぜこのベクトル(単位球面のパラメータ)の外積はSの内向きなのでしょうか？具体的な根拠を教えてください。