球体の面積のパラメータ表示
- 半径がrの球面のパラメータ表示を利用して、球面の面積を求める方法について教えてください。
- 球面の面積を求めるためのパラメータ表示は、P(u,v)、Q(x,y)、Φ(u,v)の3つの方法があります。
- P(u,v)の場合、面積要素｜Pu×Pv｜を求めて、uとvで二重積分しますが、積分範囲はどのようになりますか？
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球体の面積のパラメータ表示
半径がr(>0)の球面のパラメータ表示を利用して、球面の面積を求めよ、と言う問題です。面積をSとしたときに S=4πr^2 に帰着するように、式を展開したいです。そのパラメータ表示は、 １． P(u,v)=(r cosu cosv, r cosu sinv, r sinu) ２． Q(x,y)=(x, y, ±r^2-√(x^2-y^2) ) ３． Φ(u,v)=(√(r^2-v^2) cosu, √(r^2-u^2) cosv, v) の３つです。 １．の場合だと、面積要素｜Pu×Pv｜（偏微分同士の外積）を求めて、それをuとvで二重積分すれば良いんですよね？ ∬｜Pu×Pv｜dudv になると思うのですが・・・。 その際に、積分範囲は、どのようになるのでしょうか。どなたか、教えてください。お願いします。
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-π/2 ≦ u ≦ π/2 -2π ≦ v ≦ 2π
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