球体の面積のパラメータ表示

質問

半径がr(>0)の球面のパラメータ表示を利用して、球面の面積を求めよ、と言う問題です。面積をSとしたときに　　S=4πr^2　　に帰着するように、式を展開したいです。そのパラメータ表示は、

１．
P(u,v)=(r cosu cosv, r cosu sinv, r sinu)

２．
Q(x,y)=(x, y, ±r^2-√(x^2-y^2) )

３．
Φ(u,v)=(√(r^2-v^2) cosu, √(r^2-u^2) cosv, v)

の３つです。
１．の場合だと、面積要素｜Pu×Pv｜（偏微分同士の外積）を求めて、それをuとvで二重積分すれば良いんですよね？
∬｜Pu×Pv｜dudv
になると思うのですが・・・。
その際に、積分範囲は、どのようになるのでしょうか。どなたか、教えてください。お願いします。

回答No.1

rabbit_cat · ベストアンサー

-π/2 ≦ u ≦ π/2
-2π ≦ v ≦ 2π

お礼

学校の先輩にも聞いて、解決しました。
ありがとうございました。

補足

ありがとうございます。

このu,vの範囲は、１．のみに適用されるのでしょうか。それとも３．にも適用できますか？

そして、２．のx,yのパラメータはどうなるのでしょうか。

導出の経緯とう分かりましたら、教えて頂きたいです。お願いします。