球の表面積と円の面積

質問

球の表面積や円の面積を積分により求める場合、パラメータの取り方によって計算結果が変わってきます(添付画像参照)。球の表面積の場合は関数f(x)=√(r^2-x^2)の長さLを、円の面積の場合はxをパラメータにとると正しい計算結果が得られるようですが、なぜ似たような図形であるにも関わらずこのようにパラメータの取り方が違ってくるのでしょうか。
("似たような"という表現は些か数学的ではないですがご容赦ください)
ちなみに球の体積を積分で求めたい場合は、xをパラメータに取るとV=(4πr^3)/3が得られるようです。

回答No.4

ddtddtddt

#3です。添付図のs＝の式の積分区間の下端がx＝－πr/2になってますが、x＝－rの誤りです(^^;)。

回答No.3

ddtddtddt

昔、同じ疑問を持ちました。

　たぶん添付図のような事をやりたいんだと思いますが、まず添付図の左上の図が、面積計算の基本です。左上図のf(x)は、面積が2つの曲線g(x)とh(x)で囲まれてるなら、f(x)＝g(x)－h(x)の事だと思って下さい。要するに面積は、長方形に細かく区切って足せば得られる。その際の長方形の幅は、関数がxの関数f(x)ならΔx（またはdx）です。

　同じ考えで、右上の図のように球面上に座標系(s，y)を入れます。これは右下の図のように、球面を切り展いて平面で考えるという事です。面積は、2番目の式の1段目で与えられるはずです。

　ところが2番目の式の1段目では、関数g(x)をsで積分する事になります。なのでg(x)をsで表し直す必要が生じます。sとxとの関係は、枠で囲った式です（sの曲線長を計算する式）。曲線長の積分結果をF(x)で表した時、うるさい事を言わなければ、F(x)の逆関数F^(-1)(x)があります。それを用いてg(x)を表したのが、2段目です。

　じつはこの形で積分を実行しても良いのですが、たいていF^(-1)(x)は面倒くさい形になります。それでg(F^(-1)(s))をわざわざxの表現に戻します。

　少し考えるとわかると思いますが、これはs＝F(x)とおいた置換積分です。よって、

　　ds＝dF/dx・dx＝√(1＋(df/dx)^2)・dx

であり、F^(-1)(F(x))＝xは明らかなので、3，4段目が得られます。4段目は、あなたが与えたものと同じです。慣れてくると、最後の式のような事を、平気でやるようになります(^^;)。

　ちなみに球の体積の場合は、薄い円板の体積を積み重ねる事になりますが、薄い円板の体積は普通xの関数になるので（切り開く事なく）、積分はxで行ってOKです。

回答No.2

tknkk7

6pai%

回答No.1

上野 尚人（@uenotakato）

球や円ではなく、円錐や三角形で考えると分かりやすいのではないでしょうか。

1.円錐の側面積
直線 y=x を x軸を中心に一回転させてできた円錐の側面積を考えます。
ご質問の図(i)のように微小面積を ΔS = 2πf Δx とすると、どの微小部分も実際の側面積の (1/√2)倍になってしまいます。
図(ii)のように微小面積をとれば、どのような曲面であっても実際の面積との誤差は「その微小面積に対して」微小（Δx^2 以下のオーダー）なので、積分の過程で実際の面積に収束します。

2. 2直線「y=x , y=-x」で囲まれた部分の面積
図(i)のように微小面積をとればそれは長方形となり、実際の微小部分である台形との差は (Δx)^2 となるため「微小部分の面積に対して」無視できます。
図(ii)のように微小面積をとれば、それは「実際の微小部分である台形の面積の√2倍 （に、Δx^2 のオーダーの差が加わったもの）」となってしまいます。

いずれの場合も、微小区間の面積の近似が「実際の微小面積と Δx^2 以下のオーダー」となるように設定する必要があり、それが「正解となるパラメータの設定方法」になります。