曲面の面積

質問

下の画像はネットで拾った問題です。面積分を使って球の表面積を求めるには
　　x↑= ( asin(u)cos(v), asin(u)sin(v), acos(u) )
　　dS = det[ (∂x↑/∂u)du×(∂x↑/∂v)dv ]dudv = a^2∬D sin(u)dudv
　　S = a^2∬D sin(u)dudv
のようにすると思うのですが、下の画像の解き方で、なぜ
　　┌　　　　　　┐
　　│a^2　　b　　│= g
　　│0　 sin^2(u)　│
　　└　　　　　　┘
という行列をわざわざ使用しているのでしょうか？

回答No.1

EH1026TOYO · ベストアンサー

恐らく・・だが!?
曲面積を曲面の第一基本量を用いて表そうとしたものと思われる・・!
|∂x/∂u ｘ∂x/∂v)|² = |(∂x/∂u ,∂x/∂u)| ²|(∂x/∂v ,∂x/∂v)|² - (∂x/∂u ,∂x/∂v)²
=EG - F²
ｇ＝
┏　　　 ┓
┃E　　F ┃
┃F　 G ┃
┗　　　 ┛
＝
┏　　　　　　　　　　　　　┓
┃(∂x/∂u ,∂x/∂u)　(∂x/∂u ,∂x/∂v)┃
┃　　　　　　　　　　　　　┃
┃(∂x/∂v ,∂x/∂u)　(∂x/∂v ,∂x/∂v)┃
┗　　　 　　　　　　　　　 ┛
＝
┏　　　　　┓
┃a²　　 0　 ┃
┃0　a²sin²u ┃
┗　　　 　 ┛
√(EG - F²) = |det(g)| = a²sinu　　det(g)はgの行列式
∂x/∂u と∂x/∂vのベクトル積を∂x/∂u ｘ∂x/∂vと表すとすると曲面積Ｓは
Ｓ=∬|∂x/∂u ｘ∂x/∂v|dudv
=∬√(EG-F²)dudv
=a²∫[0,2π]dv∫[0,π]{sinu}du
=4πa²

お礼

丁寧な回答まことにありがとうございました。
> 曲面積を曲面の第一基本量
　初めて知りました。まだ未読の曲面の初歩的な参考書があったのでよく読んでみます。