面積

質問

正葉線　x^3+y^3-3axy=0　(a>0)
で囲まれる部分の面積を求めたいです。

x=rcosθ、y=rsinθを代入してまとめると、
r=3cosθsinθ/(cosθ^3+sinθ^3)
となりました。
公式を使えば、これの２乗を積分すれば良いのですが、まず積分する範囲が分かりません。そして、これを２乗したやつの積分の仕方が分かりません。

分かる方、お願いします。

回答No.2

siegmund · ベストアンサー

siegmud です．

すみません，ちょっと表現がまずくて，不親切でした．
cos^2(θ)で割ると
(4)　　{tan^2(θ) / [1+tan^3(θ)]^2} × {dθ/cos^2(θ)}
の形になっています(本当はこれに 9a^2/2 がかかる)．
で，
(2)　　y = tanθ
とおくと，(4)の２つめの {　} がちょうど dy になっています．
なぜなら
(5)　　dy/dθ = 1/cos^2(θ)
ですから．
θが 0 から π/2 まで変化するとき，y は 0 から ∞ まで変化しますから
結局
(6)　　∫{0 → ∞} y^2 dy / (1+y^3)^2
を計算すればよいことになります．
一見やっかいそうですが，
(3)　　y^3 = t
とおいてみると，またまた y^2 dy が
数係数を別にしてちょうど dt になっています．
なぜなら
(7)　　dt/dy = 3y^2 dy
ですから．
つまり，最終的には
(8)　　∫{0 → ∞} dt / (1+t)^2
の積分に帰着されます．

係数のところなどはお任せします．

お礼

丁寧な回答どうもありがとうございました！ちゃんと解けました（＾▽＾）
またの機会があればよろしくおねがいします。

回答No.1

siegmund

正葉線は

　　　　　　　ｙ

　　　　　　　│
　　　　　　　│　※※※
　　　※　　　│※　　※
　　　　※※　※　　　※
　　　　　　※※　　※
───────※※※────　ｘ
　　　　　　　│※
　　　　　　　│　※
　　　　　　　│　※
　　　　　　　│　　※
　　　　　　　│

のような形です．固定フォントで見てください．
モニタから少し離れて目を細くしてみると多少ましですかね．
囲まれた部分，ですから第１象限のところですね．
つまり，
(1)　　0≦θ≦π/2．

r=3a cosθsinθ/(cosθ^3+sinθ^3)
で(質問の式は a が抜けていますね)，
(1/2)r^2 をθで積分(範囲は(1)式)すればＯＫ．

r^2 の分母分子を cos^2 θで割ると，
tanθだけで被積分関数が書けます．
ここで，
(2)　　tanθ = y
とおけばうまく行きます．
わからなければ，もう一度
(3)　　y^3 = t
とおいてみてください．
分子にちょうど dy/dt が出ている形になっています．
最終結果は (3/2)a^2 です．

補足

回答ありがとうございます。
やりたいことは分かったのですが、cosθ^2で割ってもtanθだけで書き表すことができません。
そこの式を詳しく書いてもらえると嬉しいです。