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三角関数の微分

IIICをやってて少し気になったので 質問させてください “y=sin(3x) と表されるとき(dy/dx)を求めよ” という問題で私は2つの解答例が思い浮かびました [解答例1] u=3xと置くと (dy/du)=3 (du/dx)=u*cos(u) となり、合成関数の微分法の公式から (dy/dx)=(dy/du)*(du/dx) =(3)*{u*cos(u)} =3*3x*cos(3x) =9x*cos(3x) (答) [解答例2] 3倍角の公式から sin(3x) =3sin(x)-4{sin(x)}^3 よって (dy/dx) =[3sin(x)]'-[4{sin(x)}^3]' =3cos(x)-12[{sin(x)}^2]*[cos(x)] (答) となってしまい、同じ式を微分したのに 異なる解答が出てきます。 この場合どちらが正しいのでしょうか。 あるいはどちらも正しいのでしょうか。 回答をお願いします

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  • ベストアンサー
  • sunasearch
  • ベストアンサー率35% (632/1788)
回答No.1

>u=3xと置くと y=sinuになりますから、 >(dy/du)=3 dy/du=cosu >(du/dx)=u*cos(u) du/dx=3 ですから、 (dy/dx)=(dy/du)*(du/dx) = 3cosu = 3cos3xです。 この3cos3xを三倍角の公式で展開すると、 3(4(cosx)^3-3cosx) = 12cosx(cosx)^2 - 9cosx = 12cosx(1-(sinx)^2)-9cosx = -12cosx(sinx)^2 + 3cosx になります。

whiteshirts
質問者

お礼

親切な回答をありがとうございました。 [解答例1]を3倍角で分解すれば同じになるのですね。 おかげですっきりしました。

その他の回答 (2)

回答No.3

たぶん、両方とも間違っているとおもわれます。 y=sin(3x) dy/dx=dy/du*du/dx=d(sinu)/du*du/dx =cosu*3=3cos(3x) つまりdu/dx=3である・・・u=3xなので。 ここが違うかと思います。

whiteshirts
質問者

お礼

親切な回答をありがとうございます。 指摘されたとおり、dy/duとdu/dxが間違っていました。 もうすこし練習してこのようなことがないようにします

回答No.2

[解答例1]の (dy/du)=3、(du/dx)=u*cos(u) が違います。 y=sin(3x)=sin(u)なので、 dy/du=cos(u) u=3xなので、 du/dx=3 です。 したがって、 dy/dx=(dy/du)*(du/dx)=cos(u)*3=3cos(3x) が答えです。 [解答例2]の方はちゃんと検算してませんが、あっていそうです。

whiteshirts
質問者

お礼

親切な回答をありがとうございます。 指摘されたとおり、dy/duとdu/dxが間違っていました。 もうすこし練習してこのようなことがないようにします

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