解析学の計算で行き詰まっています。

質問

以下の解析学の問題なのですが、途中から積分の計算ができずに困っています。

(1)x^2+y^2+z^2≦a^2(a>0)のx^2+y^2≦ax の部分の体積を求めよ。
　　 x^2+y^2≦ax
　⇔(x-a/2)^2+y≦a^2/4 より、
　x=rcosθ+a/2,y=rsinθとおくと、
D = {(r,θ);0≦r≦a/2,0≦θ≦2π}
J = rとなり、
また、-√(a^2-x^2-y^2)≦z≦√(a^2-x^2-y^2)であるから、
　V=∫{_0}^{a/2}rdr∫{_0}{^2π}dθ∫{_-√(a^2-x^2-y^2){^√(a^2-x^2-y^2)dz
= =∫{_0}^{a/2}rdr∫{_0}{^2π}dθ∫√(a^2-(rcosθ+
a/2)^2-r^2*sin{^2}θ)dz
となるので、√部は,
√(3/4*a^3-arcosθ-r^2)となりますが、置換積分等の方法も試してみましたがこれを積分することができません。というか、この形は積分不可能なように思えるのですが、どうなんでしょうか？

(2)領域Dの重積分 ∫∫(x^2+y^2)/(x+y)^3dxdyを求める。D={(x,y);1≦x+y≦3,x≧0,y≧0}
x+y=u,x-y=vとおくと、
　x=(u+v)/2, y=(u-v)/2 E={(u,v);1≦u≦3,u≧v}
J=-1/2 より、
∫∫(u^2+v^2)/4u^3dudv
となるのですが、領域Eにおいてu≧vでは領域が広すぎて、どういった処理をすればいいのか分かりません。（u≧v≧aといった形なら簡単に処理できるのですが・・・)

以上宜しければ回答をお願いします。

回答No.2

minardi · ベストアンサー

すみません。x=cosθ,y=sinθではなくて
x=rcosθ,y=rsinθとおいてください。
そうすれば、ヤコビアンがrとなって
V=2∫_{-π/2}^{π/2}∫_{0}^{acosθ}(a^2-r^2)^(1/2)rdrdθ
=4∫_{0}^{π/2}[(-1/3)(a^2-r^2)^(3/2)]_{0}^{acosθ}dθ
=(4/3)a^3∫_{0}^{π/2}(1-(sinθ)^3)dθ
=(4/3)a^3∫_{0}^{π/2}(1-((3/4)sinθ-(1/4)sin3θ))dθ
=(4/3)a^3[θ+(3/4)cosθ-(1/12)cos3θ]_{0}^{π/2}
=(4/3)a^3(π/2-(3/4-1/12))
のようにできると思います。

お礼

ありがとうございます。無事に計算できました。返事が遅くなり申し訳ございませんでした。

回答No.1

minardi

（1）についてですが、√部は、
√{a^2-(rcosθ+a/2)^2-r^2*(sinθ)^2}}
=√{(3/4)a^2-arcosθ-r^2}
=√{(3/4)a^2+(1/4)a^2(cosθ)^2-(r-(a/2)cosθ)^2}
なので
V=2∫_{0}{^2π}∫_{0}^{a/2}∫√{(3/4)a^2+(1/4)a^2(cosθ)^2-(r-(a/2)cosθ)^2}rdrdθ
となって積分できますがたいへんそうです。

これより、x=cosθ,y=sinθとおけば
x^2+y^2≦ax は　r=acosθ(-π/2≦θ≦π/2)
求める体積Vはxy平面より上の部分の体積の2倍なので
V=2∫_{-π/2}^{π/2}∫_{0}^{acosθ}(a^2-r^2)^(1/2)rdrdθ
として求めると簡単ではないかと思います。

補足

ご回答ありがとうございます。
確かに、x=cosθ,y=sinθ,r=acosθ(-π/2≦θ≦π/2)
とおくと、θ,rであらわせ、式も簡単になりますね。

しかしながら、
V=2∫_{-π/2}^{π/2}∫_{0}^{acosθ}(a^2-r^2)^(1/2)
rdrdθを計算してみたのですが、2πa^3/3となり、答えの
2(3π-4)a^3/9と一致しませんでした。
　x=cosθ,y=sinθ,r=acosθとおいた時のヤコビアンはrで
いいのでしょうか？定義から考えるとx=f(θ),y=f(θ)なの
で、ヤコビアンは不要な気もするのですが。
J=1とおいて計算もしてみましたが、こちらも答えに一致し
ませんでした。

　私の計算ミスかもしれませんが、宜しければアドバイス
をいただけないでしょうか？