パラメーターｒ、θ 関数 面積

質問

パラメータｒ、θ（ｒ＞０、０≦θ≦π/4）に対してｘの関数f(ｘ)＝rsin（ｘ＋θ）を考える。
（１）ｒ、θが等式
∫(0→2π)（sinx－f(x)）^2　dx＝∫(0→2π)（sinx)^2dx・・・A
を満たしているとき、rをθの関数として表せ。
（２）Aを満たしながら、ｒ、θを動かしたとき、０≦ｘ≦πにおけるy=f(x)のグラフはｘｙ平面上を動く。これらのグラフが動く範囲Dを求め、図示せよ。
（３）図形Dの面積Sを求めよ。

この問題を解いているのですが、(1)では∫をそのままはずして計算できるのでしょうか？そのようにして計算してみたところｘが消えなかったので間違っているのではないかと思っています。
難しくて困ってます。回答よろしくお願いします

回答No.2

rtz · ベストアンサー

No.1の者です。

(2)
ではr＝cosθが正解である前提で進めます。
これをf(x)に代入すれば、f(x)＝cosθ・sin(x+θ)となります。　
f(x)＝cosθ・sin(x+θ)＝1/2{sin(x+2θ)+sinx}

ここでxを0<=x<=πの範囲で、仮にある値に固定したとします。
sinxに関しては、
0<=x<=πですから、sinx>=0です。
sin(x+2θ)に関しては、
0<=θ<=π/4より0<=2θ<=π/2ですから、0<=x<=πを考慮して、
0<=x<=π/4で、2θ＝0のとき最小値sinx、2θ＝π/2-xのとき最大値1
π/4<=x<=π/2で、2θ＝π/2のとき最小値sin(x+π/2)＝cosx、2θ＝π/2-xのとき最大値1
π/2<=x<=πで、2θ＝π/2のとき最小値cosx、2θ＝0のとき最大値sinx
をそれぞれ取ります（分かりにくければ図を描いてください）。

以上より、f(x)＝1/2{sin(x+2θ)+sinx}は、
0<=x<=π/4で、最小値sinx、最大値(1+sinx)/2
π/4<=x<=π/2で、最小値(sinx+cosx)/2、最大値(1+sinx)/2
π/2<=x<=πで、最小値(sinx+cosx)/2、最大値sinx
と分かるので、あとはこれをy=f(x)としてグラフに表すだけです。

(3)
最大値と最小との差を積分区間に従って積分してやれば面積が出ます。

お礼

回答ありがとうございました！

回答No.1

rtz

＞(1)では∫をそのままはずして計算
被積分関数が等しいときはしてもいいですが、この場合は等しいとは言われていないのでしてはいけません。
例を出すと∫(0→1)xdx＝0.5＝∫(0→1)(1-x)dxですが、x≠1-xです。

この問題は具体的に左辺、右辺の積分をしてしまいましょう。
左辺の被積分関数は(sinx)^2-2rsinx・sin(x＋θ)+r^2・{sin(x＋θ)}^2、
右辺の被積分関数は(sinx)^2です。
和積で展開した上で、cos2x＝1-2(sinx)^2などを利用して具体的な計算が出来ます。
多少面倒ですが、頑張ってください。

補足

回答ありがとうございます！
左辺と右辺をそれぞれ計算してイコールで結んだところ
ｒ＝cosθ　
というのが出てきました。

(2)でこのｒとθの関係からどのようにしてｘｙの関係にすればいいのでしょうか？f(x)の式に代入したのですがそのあと何をすればいいのかがよくわからなくなりました。
回答いただければ幸いです