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微分係数について

たとえば、関数F(y)=∫(0→√x)e^(xy)sinx^2dx(こういう関数ならなんでもよい)のy=0における微分係数を求める時、「積分と微分の可換性を用いれば簡単に計算できる」というのですがどういうことですか?分かる方教えてください。

noname#17469
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勝手に作った変な例ですが、F(y)=∫(0→x) (sinx+ (e^2x)y+xy^2)dx なるF(y)を考えます。 (但し、x,y は互いに無関係(?)な変数とします) まず、普通に計算していけば F(y)=∫(0→x) (sinx+ (e^2x)y+xy^2)dx                        x    =[-cosx + y(e^2x)/2 +(1/2)(y^2)x^2]                             0   ={-cosx + y(e^2x)/2 +(y^2)x^2/2 }-{cos0+(1/2)y}   =-cosx + y(e^2x)/2 +(y^2)x^2/2 +1-y/2 よって dF(y)/dy =(e^2x)/2 +(x^2)y-1/2 になりますね。 今度は、yで微分してから積分すると、  ∫(0→x) (δ/δy){sinx+ (e^2x)y+xy^2}dx  =∫(0→x){(e^2x)+2xy}dx               x  =[ (e^2x)/2+y(x^2) ]               0  ={(e^2x)/2+y(x^2) }-{1/2}  =(e^2x)/2 +(x^2)y-1/2 と先程のdF(y)/dy と同じモノがでてきます。

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その他の回答 (3)

  • 回答No.4

#3に書き忘れましたが、#3は#2の続きです。

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  • 回答No.2

うろ覚えですが、 F(y)=∫G(x,y)dx のとき dF(y)/dy (d/dy)∫G(x,y)dx = ∫(δ/δy)G(x,y)dx だから dF(y)/dy =∫(δ/δy)G(x,y)dx では?

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  • 回答No.1
  • Drunk
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xで積分してから、yで微分して、y=0を代入するのと、 積分の中身をyで微分して、y=0を代入してから、xで積分しても同じ、ということだと思います。 いつでも後者の方が簡単とは限らないと思いますけど。 また、積分区間がyの関数になっている場合などもあるので、注意する必要があります。

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