関数の極値

質問

問題:第２次導関数を利用して、次の関数の極値を求めよ。

ｆ(x)=e^x cos x (0≦x≦2π)

f ' (x) = e^x cosx - e^x sinx = e^x (cosx-sinx)
f ''(x) = e^x (cosx - sinx) + e^x (-sinx -cos x)

f ' (x) = 0 とすると、sinx - cosx =0

したがって、a sinθ+ b cos θ= √(a^2 + b^2) sin (θ+α)
sin α= b / √(a^2 + b^2)
cos α= a/ √　(a^2 +b^2)
したがって、√2* sin (x-π/4）
0≦x≦2πより、-π/4 ≦　x - π/4 ≦　7π/4

x - π/4 = 0, π　すなわち　x=π/4, 5π/4

f '' (π/4) = - 2/√2 * e^(π/4 ) < 0

f '' (5π/4) = 2 / √2 * e^ (5π/4) > 0

よって、ｆ (x) は、　x = π/4 で　極大値　1/√2 * e^(π/4 )
x = 5π/4 で　極小値　 - 1/√2 * e^ (5π/4) となる。

ここで質問なんですが、この　ｆ(x)=e^x cos x (0≦x≦2π) のグラフの座標のとり方が分からずに困っています。
自分で手書きで模範回答を写して書いてみたのですが、もし分かりにくかったらすみません。

それから、極大値について、グラフを見る限り、f (x) = 2πのときが最も大きいように思ったのですが。
これは間違いなのでしょうか。

教えてください、お願いします。

回答No.1

info22_ · ベストアンサー

>この　ｆ(x)=e^x cos x (0≦x≦2π) のグラフの座標のとり方が分からずに困っています。
>自分で手書きで模範回答を写して書いてみたのですが、もし分かりにくかったらすみません。

(0≦x≦2π) なのでグラフのxの範囲は、お描きの負の方はもう少し少なくして-π/4～9π/4位の範囲で描けば充分かと思います。
また、x=2πの時のf(x)は最大値f(2π)=e^(2π)≒535.49
x=5π/4の時の極小値（最小値）f(5π/4)≒-(e^(5π/4))/√2≒-35.89なので
グラフのy軸の範囲は　-50～600位の範囲で充分でしょう。

しかし、テストなどではeの値が与えられていないので、πの値を使ったままyの値（極大値、極小値に加えx=0,π/2,π,3π/2,πなどに対するyの座標値）の点をy=e^xの包絡線（点線で描く）と共に描き込んで置くようにします。
(グラフをより正確に描く為に、できればe≒2.718,π=3.14159などを覚えているかと何かと役立つでしょう。)

>それから、極大値について、グラフを見る限り、f (x) = 2πのときが最も大きいように思ったのですが。
>これは間違いなのでしょうか。

書き方「f(x)=2π」はミスでしょう！
x=2πの時f(2π)は0≦x≦2πの範囲の最大値になります。
極大値はf(π/4)（＜最大値f(2π)）です。
極大値と最大値と混同していませんか？

この問題で求めるのは最大値ではなく極値（極大値、極小値）です。問題文を良く読みましょう。

お礼

すみません。極大値と最大値を混同していました。
それから、e≒2.718　に気づいていなかったので、このグラフにおける各座標をとることができませんでした。

分かりやすい説明をありがとうございました。

回答No.2

info22_

#1です。

参考までに図１に最大値、極大値、極小値が収まるx軸の範囲とyの範囲でグラフを描いて見ました。
この正確な実寸図だと、x=π/4における極大値の付近のグラフがx軸に張り付いて良く見えません。

図２にy軸の範囲を拡大して極大値と極小値の付近のグラフが良く見えるように描いて見ました。当然最大値の付近のグラフはy軸の表示範囲の外に飛び出してしまいます。

なので模範解答のように実寸ではないオカシナ模範解答のようなグラフで描くか、図１と拡大図２の２つのグラフで描くか、どちらかになるでしょう。

お礼

回答ありがとうございます。

なるほど。　
この図２の実寸のグラフを見ると、極大値と極小値がはっきりと読み取れます。

参考になりました。