数IIの三角関数の問題

質問

数IIの三角関数の問題

次の３つの問題が分かりません。
解説をお願いします。

１、関数 y=cos2x-sinx(0≦x<2π) の最大値と最小値を求めよ。
また、与えられた実数aに対して、方程式 cos2x-sinx=a(0≦x<2π)の解の個数を求めよ。

２、45°≦θ≦135°のとき、関数f(θ)=3(sinθ)^2+4√3sinθcosθ-(cosθ)^2の最大値と最小値を求めよ。

３、aを定数とする。xについての方程式 (cosx)^2+2a(sinx)-a-1=0 の 0≦x≦2π における異なる実数解の個数を求めよ。

回答No.1

aquatarku5 · ベストアンサー

１　y=cos2x-sinx
　　　=1-2(sinx)^2-sinx
　　　=-2t^2-t+1　　(t=sinxとおいた。-1<=t<=1）
　　　=-2(t+1/4)^2+9/8
　　よって、最大値はt=-1/4のとき9/8
　　　　　　最小値はt=1のとき-2

　　cos2x-sinx=-2t^2-t+1=a　(-1<=t<=1)
　　y=-2(t+1/4)^2+9/8=a　において、左辺(tの二次関数)のグラフ（-1<=t<=1）を描き、
　　y=aと交わる点がいくつあるかを考察すれば、tの解の個数が求まります。
　　a>9/8、a=9/8、0<=a<9/8、-2<=a<0、a<-2で場合分けされますね。
　　またsinxのグラフの形状から、
　　t=±1のときxの解の個数=1、-1<t<1のときxの解の個数=2個とわかります。

　　以上からxの解の個数は、下記の通り場合分けされますね。
　　・a>9/8（0個）
　　・a=9/8（2個）
　　・0<a<9/8（4個）
　　・a=0（3個）
　　・-2<a<0（2個）
　　・a=-2（1個）
　　・a<-2（0個）

２　f(θ)=3(sinθ)^2+4√3sinθcosθ-(cosθ)^2
　　=4(sinθ)^2+4√3sinθcosθ-1
　　=2(1-cos2θ)+2√3sin2θ-1
　　=2√3sin2θ-2cos2θ+1
　　=4sin(2θ-π/6)+1　　但し、π/2<=2θ<=3π/2
　　とくれば後はわかりますね？

３　(cosx)^2+2a(sinx)-a-1
　　=1-(sinx)^2+2a(sinx)-a-1
　　=-t^2+2at-a　（t=sinxとおいた。-1<=t<=1）
　　=-(t-a)^2+a(a-1)
　　tの2次関数とみてそのグラフ（-1<=t<=1）を描き、当該tの範囲でt軸と
　　交わる点がいくつあるかを考察すれば、tの解の個数が求まります。
　　a<-1、-1<=a<-1/3、-1/3<=a<0、a=0、0<a<1、a>=1で場合分けされますね。

　　またsinxのグラフの形状から、
　　t=±1のときxの解の個数=1、-1<t<1のときxの解の個数=2個とわかります。

　　以上からxの解の個数は、下記の通り場合分けされますね。
　　・a<-1（0個）
　　・a=-1(1個）
　　・-1<a<-1/3（2個）
　　・a=-1/3（3個）
　　・-1/3<a<0（4個）
　　・a=0（2個）
　　・0<a<1（0個）
　　・a=1（1個）
　　・a>1（2個）

お礼

ありがとうございます。
よく理解することが出来ました。