三角函数の問題を教えて下さい。

質問

次の問題について教えて下さい。
関数Y＝２〈sin3乗X＋cos3乗X〉＋３〈sinX＋cosX-1〉sin2X　について以下の問題に答えよ。

(1)　T＝sinX＋cosX　とするとき、Tのとりうる範囲を求めよ。
(2)Yの最大値および最小値と、それらを与えるXの値を求めよ。

詳しい解き方と答えを待っています。

回答No.1

noname#190065 · ベストアンサー

何処が分からないかを質問する方が、回答しやすいと思います。
(1)三角関数の合成公式を使えませんか。
(2)sinX+cosXの形をつくります。3乗があるものは(a+b)^3の形に変形できると考えながら、後ろのsin2Xに注目します。するとすっかりTに変形できます。YがTだけで表せて、最大値・最小値が(1)で考えた範囲で求まります。後は、(1)からXを出します。

　解けないのは、三角関数の基礎的な理解と式の変形(乗法公式など)の練習が不足しているためです。この問題について、気が付かないような解き方のポイントはありません。

お礼

回答ありがとうございます。
三角関数の合成を使うのですか。
もう一度調べてみますm(__)m

補足

三角関数の合成で調べましたが、３乗についてなどの公式がなかったので分かりませんでした。 Ｙイコールの式はＴに直せましたが
(2)番は(1)が解ければ出来そうです。
自分の理解不足が原因ですが今一度、三角関数の合成について教えて頂けると嬉しいです。

回答No.4

alice_44

Y が T の式で表せましたか。それは、素晴らしい。
(sin x)^3 + (cos x)^3 = (sin x + cos x)^2 - 3(sin x)(cos x)(sin x + cos x),
sin 2x = 2(sin x)(cos x),
(sin x)(cos x) = (1/2){ (sin x + cos x)^2 - (sin x)^2 - (cos x)^2 }
を使いましたかね。

そこができれば、後は簡単です。
T = sin x + cos x
= (√2){ (sin x)(cos π/4) + (cos x)(sin π/4) }　　←(＊)
= (√2) sin(x+π/4)
を使って、x の範囲を T の範囲へ翻訳して、
(2)へ持ち込めばよいです。三次関数の最大最小の問題になります。

問題で x の範囲を与えていないのが気になりますが、
任意の実数ってことでしょうかね。

(＊)の箇所で使ったのは、いわゆる「三角関数の合成」というヤツ。
加法定理を逆用しているだけです。基本手技だから、これは知っておかないと。

y = a sin x + b cos x を見たら、r = √(a^2 + b^2) と置いて
y = r { (a/r)(sin x) + (b/r)(cos x) } と変形する。
(a/r)^2 + (b/r)^2 = 1 が成り立っていますから、
cos C = a/r, sin C = b/r となる C が存在します。
この C を使って y = r { (cos C)(sin x) + (sin C)(cos x) }
だから、sin の加法定理より、y = r sin(C + x) です。
三角関数が一ヶ所になって、扱いやすくなりましたね。

回答No.3

info22_

(1)
　T=sin(x)＋cos(x)=√2sin(x+(π/4)) ...(A)
-1≦sin(x+(π/4))≦1より
　-√2≦T≦√2

(2)
T^2=sin^2(x)+cos^2(x)+2sin(x)cos(x)=1+2sin(x)cos(x)
より　sin(x)cos(x)=(T^2-1)/2 ...(B)
Y=2(sin^3(x)+cos^3(x))+3(sin(x)+cos(x)-1)sin(2x)
=2(sin(x)+cos(x))(sin^2(x)+cos^2(x)-sin(x)cos(x))
+6(sin(x)+cos(x)-1)sin(x)cos(x)
(A),(B)を代入して
　Y=2T(1-(T^2-1)/2)+6(T+1)(T^2-1)/2
=2T^3+3T^2-3
　 =2(T+3/2)T^2 -3
　Y'=6T(T+1)=0のときT=0,-1
(1)より-√2≦T≦√2
　T=-1で極大値-2をとり,T=0で極小値(最小値)-3をとる。
　T=-√2のときY=3-4√2=-2.65…＞-3
　T=√2のときY=3+4√2=8.65…＞-2で最大値
-√2≦T≦√2の範囲でYの増減表を作って
グラフの概形を描く。グラフは添付図のようになる。
　Yの最大値3+4√2。
この時のxは、T=√2,sin(x+π/4)=1,x+π/4=π/2+2nπより
　　x=(π/4)+2nπ(nは任意の整数)。
　Yの最小値は-3。
　この時のxは、T=0,sin(x+π/4)=0,x+π/4=nπより
　　x=nπ-(π/4)(nは任意の整数)。

回答No.2

Masami_Fujii

元塾講師＆非常勤講師です。

普通の問題ならば（２）しかありません。（１）なんてヒントでしかなく、
こんなもんは問題とすら言えない。何故ならば、教科書を読めばいいからです。

まずは教科書を読め。