三角関数

質問

関数
y＝sinθ＋cosθ－2sinθcosθについて

(1)t＝sinθ＋cosθ とするとき、tの値の範囲を求めよ。

(2)sinθcosθを(1)のtを用いて表せ。

(3)関数yの最大値と最小値を求めよ。

テスト範囲なのですが
授業では解説されなかった問題ですので答えが分かりません。

解説をしていただけないでしょうか？

回答No.1

info22_ · ベストアンサー

(1)
三角関数の合成の公式を使って
　t=sinθ＋cosθ=√2sin(θ+(π/4))
-1≦sin(θ+(π/4))≦1なので
　-√2≦t≦√2 …(A)

(2)
　t=sinθ＋cosθ
　t^2=(sinθ＋cosθ)^2=(sinθ)^2＋(cosθ)^2+2sinθcosθ=1+2sinθcosθ
したがって
　sinθcosθ=(t^2 -1)/2

(3)
　y=sinθ＋cosθ－2sinθcosθ
　y=t-(t^2-1)=-(t-(1/2))^2 +(5/4)

(1)の(A)より　-√2≦t≦√2 なので

t=1/2でyの最大値=(5/4)
t=-√2でyの最小値=(5/4)-(-√2-(1/2))^2=(5/4)-(2+(1/4)+√2)=-(1+√2)
となります。

お礼

分かりました！
解説ありがとうございます。

自力で解けるよう頑張ります
(^-^)

回答No.2

tarame

（１）　三角関数の合成の公式を用いて、sinθ＋cosθ＝(√2)sin(θ＋(π/4))　と式変形する。
　　答　-√2≦ｔ≦√2

（２）　ｔ＝sinθ＋cosθの両辺を２乗して、(sinθ)^2＋(cosθ)^2＝１を用いる。
　　答　sinθcosθ＝(t^2－１)/２

（３）　(1)と(2)より、ｙはｔの二次関数になります。（答は省略します）

お礼

分かりました！
解説ありがとうございます。

自力で解けるよう頑張ります
(^-^)