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三角関数

関数 y=sinθ+cosθ-2sinθcosθについて (1)t=sinθ+cosθ とするとき、tの値の範囲を求めよ。 (2)sinθcosθを(1)のtを用いて表せ。 (3)関数yの最大値と最小値を求めよ。 テスト範囲なのですが 授業では解説されなかった問題ですので答えが分かりません。 解説をしていただけないでしょうか?

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(1) 三角関数の合成の公式を使って  t=sinθ+cosθ=√2sin(θ+(π/4)) -1≦sin(θ+(π/4))≦1なので  -√2≦t≦√2 …(A) (2)  t=sinθ+cosθ  t^2=(sinθ+cosθ)^2=(sinθ)^2+(cosθ)^2+2sinθcosθ=1+2sinθcosθ したがって  sinθcosθ=(t^2 -1)/2 (3)  y=sinθ+cosθ-2sinθcosθ  y=t-(t^2-1)=-(t-(1/2))^2 +(5/4) (1)の(A)より -√2≦t≦√2 なので t=1/2でyの最大値=(5/4) t=-√2でyの最小値=(5/4)-(-√2-(1/2))^2=(5/4)-(2+(1/4)+√2)=-(1+√2) となります。

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  • 回答No.2
  • tarame
  • ベストアンサー率33% (67/198)

(1) 三角関数の合成の公式を用いて、sinθ+cosθ=(√2)sin(θ+(π/4)) と式変形する。   答 -√2≦t≦√2 (2) t=sinθ+cosθの両辺を2乗して、(sinθ)^2+(cosθ)^2=1を用いる。   答 sinθcosθ=(t^2-1)/2 (3) (1)と(2)より、yはtの二次関数になります。(答は省略します)

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