数II 三角関数の最大，最小

質問

学校で購入した問題集の問題なのですが解説に答えしか載っておらず、とても困っています…

詳しく、途中式や、説明文を書いて解き方教えていただけると、とても嬉しいです。

次の二問なのですが…次の関数の最大値、最小値および、そのときのθの値を求めよ。という問題です。

【1】ｙ=2cosθ－3（π/3≦θ≦7π/6）
※3分のπと6分の7πです。みにくくてすみません…

【2】ｙ=sin（θ－π/4） （0≦θ≦5π/4）

よろしくお願いします。

回答No.3

yyssaa · ベストアンサー

失礼！ミスがあったので、図を付けて再回答します。
【1】ｙ=2cosθ－3（π/3≦θ≦7π/6）
※3分のπと6分の7πです。みにくくてすみません…
＞見難くないですよ！式は正確に読み取れます。
y=2cosθ-3は係数が正のcosθの一次関数だから、
cosθが最大/最小のときにyも最大/最小になります。
cosθのグラフを描けば分かり易いと思いますが、
π/3≦θ≦7π/6でcosθが最大/最小になるのは
θがπ/3で最大/θがπで最小、そのときのcosθの値は
cosπ/3=1/2、cosπ=-1
よってyの最大値はθがπ/3のときに2*(1/2)-3=-2、
最小値はθがπのときに2*(-1)-3=-5。
【2】ｙ=sin（θ－π/4） （0≦θ≦5π/4）
0≦θ≦5π/4から0-π/4≦θ-π/4≦5π/4-π/4
書き直すと-π/4≦θ-π/4≦π、θ-π/4=αとすると
-π/4≦α≦πの範囲でsinαの最大値、最小値を求めれば
よいので、これもsinαのグラフを描けば分かり易いと
思いますが、この範囲でsinαが最大/最小になるのは
αがπ/2で最大/αが-π/4で最小、そのときのsinαの
値はsinπ/2=1、sin(-π/4)=-1/√2=-√2/2
よってyの最大値はθ=π/2+π/4=3π/4のときに1、
最小値はθ=-π/4+π/4=0のときに-√2/2。

回答No.2

yyssaa

【1】ｙ=2cosθ－3（π/3≦θ≦7π/6）
※3分のπと6分の7πです。みにくくてすみません…
＞見難くないですよ！式は正確に読み取れます。
y=2cosθ-3は係数が正のcosθの一次関数だから、
cosθが最大/最小のときにyも最大/最小になります。
cosθのグラフを描けば分かり易いと思いますが、
π/3≦θ≦7π/6でcosθが最大/最小になるのは
θがπ/3で最大/θがπで最小、そのときのcosθの値は
cosπ/3=1/2、cosπ=-1
よってyの最大値は2*(1/2)-3=-2、最小値は2*(-1)-3=-5
【2】ｙ=sin（θ－π/4） （0≦θ≦5π/4）
0≦θ≦5π/4から0-π/4≦θ-π/4≦5π/4-π/4
書き直すと-π/4≦θ-π/4≦π、θ-π/4=αとすると
-π/4≦α≦πの範囲でsinαの最大値、最小値を求めれば
よいので、これもsinαのグラフを描けば分かり易いと
思いますが、この範囲でsinαが最大/最小になるのは
αがπ/2で最大/αが0又はπで最小、そのときのsinαの
値はsinπ/2=1、sin0=sinπ=0
よってyの最大値1、最小値は0

回答No.1

info22_

【1】ｙ=2cosθ－3
π/3≦θ≦7π/6 より
　-1=cos(π)≦cosθ≦cos(π/3)=1/2 なので
　　-5=2(-1)-3≦y≦2*(1/2)-3=-2
θ=π/3のとき最大値=-2
θ=πのとき最小値=-5

【2】ｙ=sin（θ－π/4）
0≦θ≦5π/4　より
　-π/4≦θ－π/4≦π　なので
　θ-π/4=π/2 すなわち θ=3π/4 のとき　最大値=1
　θ-π/4=-π/4 すなわち θ=0 のとき　最小値=-1/√2=-√2/2